Merentang V dan Pembahasan

 

Merentang V (blogaritma.net)

Definisi :
Jika v₁ , v₂ , … v_r  adalah vektor-vektor pada ruang vektor V dan jika masing-masing vektor pada V dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear v₁ , v₂ , … v_r maka ita mengatakan bahwa vektor-vektor ini merentang V


Contoh soal:
Tentukan apakah v₁ = (1,2,3) dan v₂ = (-1,1,1) dan v₃ = (2,0,1) merentang R³

Jawab:
Misal ∀ (x,y,z) ϵ R³

(x,y,z) = k₁(1,2,3) + k₂(-1,1,1) + k₃(2,0,1)
(x,y,z) = (k₁-k₂+2k₃, 2k₁+k₂, 3k₁+k₂+1k₃)

didapat SPL:
k₁-k₂+2k₃    = x ….. (1)
2k₁+k₂         = y…. (2)
3k₁+k₂+1k₃ = z … (3)

dengan menggunakan Crammer :

$k_1=\frac{\begin{vmatrix}x&-1&2 \\ y&1&0 \\ z&1&1 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1&-1&2 \\ 2&1&0 \\ 3&1&1 \end{vmatrix}}$

$k_2=\frac{\begin{vmatrix}1&x&2 \\ 2&y&0 \\ 3&z&1 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1&-1&2 \\ 2&1&0 \\ 3&1&1 \end{vmatrix}}$

$k_3=\frac{\begin{vmatrix}1&-1&x \\ 2&1&y \\ 3&1&z \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1&-1&2 \\ 2&1&0 \\ 3&1&1 \end{vmatrix}}$


Karena determinan dari $\begin{vmatrix}1&-1&2 \\ 2&1&0 \\ 3&1&1 \end{vmatrix}$ adalah

$\begin{vmatrix}1&-1&2 \\ 2&1&0 \\ 3&1&1 \end{vmatrix}\begin{matrix}1 &-1 \\ 2 &1 \\ 3 &1\end{matrix}$
= (1 + 0 + 4) - (6 + 0 - 2) = 5 - 4 = 1 karena 1 ≠ 0 maka k₁, k₂, k₃ ada nilai

Jadi S merentang R³