Pembuktian Rasional dan Irasional

Rasional : Himpunan semua bilangan rasional di R dinotasikan dengan Q. Dapat ditunjukkan bahwa penjumlahan dan perkalian dua bilangan rasional adalah rasional. Sifat lapangan berlaku untuk Q.

TEOREMA

Tidak ada elemen $r \in Q$ sedemikian hingga $r^2=a$

Bukti :

Andai $r \in Q$ sedemikian hingga $r^2=a$, maka r dapat dinyatakan sebagai $\frac{p}{q}$ dengan p dan q tidak memiliki faktor berserikat kecuali 1. Sehingga $(\frac{p}{q})^2$ atau $p^2=2q^2$. Karena $2q^2$ genap, maka $p^2$ genap. Sebab jika ganjil maka p=2m-1; m $\in$ N atau $p^2=(2m-1)^2=4m^2-4m+1=2(2m^2-2m)+1$ yang berarti p ganjil. Jadi p haruslah genap. Karena p genap maka p = 2k ; k $\in$ N sehingga $p^2=2q^2\leftrightarrow 4k^2 = 2q^2 \leftrightarrow  2k^2 = q^2$ yang berarti q genap. Kontradiksi bahwa q ganjil, jadi pengandaian salah, yang benar tidak ada elemen $r \in Q$ sedemikian hingga $r^2=a$

 

 

Sumber : Catatan Kuliah