Transformasi Linear dan Pembahasan Soal

 

Transformasi Linear (blogaritma.net)

Definisi : F : v ↔ w ; v dan w Ruang Vektor. F disebut Transformasi Linear jika memenuhi 2 Aksioma berikut.

∀ u,v ∈ v dan k skalar

1) F(u+v) = F(u) + F(v)
2) F(ku) = k.F(u)

Contoh :
1) Diketahui F : R² ↔ R³, tentukan apakah F(x,y) = (x+y, x-y, 2xy) merupakan Transformasi Linear?

Jawab:
Misal u,v ∈ R²
u = (x₁,y₁)
v = (x₂,y₂)
k skalar

1) F(u+v) = F(u) + F(v)

Ruas Kiri

F(u+v) = F( (x₁,y₁) + (x₂,y₂) )
           = F ( x₁+x₂ , y₁+y₂ )
           = ( (x₁+x₂) + (y₁+y₂) , (x₁+x₂) - (y₁+y₂) , 2(x₁+x₂).(y₁+y₂) )
           = ( (x₁+y₁) + (x₂+y₂) , (x₁-y₁) + (x₂-y₂) , 2x₁y₁ + 2x₂y₂ + 2x₁y₂ + 2x₂y₁ )
           = (  x₁+y₁ , x₁-y₁ , 2x₁y₁ ) + ( x₂+y₂ , x₂-y₂ , 2x₂y₂ ) + ( 0 , 0 , 2x₁y₂ + 2x₂y₁ )
           ≠ F(u) + F(v)
(Tidak Memenuhi Aksioma 1)

2) F(ku) = F(k(x₁,y₁))
             = F(kx₁ , ky₁)
             = ( kx₁ + ky₁ , kx₁ - ky₁ , 2kx₁ky₁)
             = ( kx₁ + ky₁ , kx₁ - ky₁ , 2k²x₁y₁)
             = k( x₁+y₁ , x₁-y₁ , 2kx₁y₁)
             ≠ k.F(x₁,y₁)
             ≠ k.F(u)
(Tidak Memenuhi Aksioma 2)

∴ F bukan Transformasi Linear


Contoh yang merupakan Transformasi Linear

2) Diketahui F : R³ ➝ R² , tentukan apakah F(x,y,z) = (2x+y , 5y+z) merupakan Transformasi Linear?

Jawab:
Misal u,v,w ∈ R³
u = (x₁,y₁,z₁)
v = (x₂,y₂,z₂)
k skalar

1) F(u+v) = F(u) + F(v)

Ruas Kiri
F(u+v) = F( (x₁,y₁,z₁) + (x₂,y₂,z₂) )
           = F( x₁+x₂ , y₁+y₂ , z₁+z₂ )
           = 2(x₁+x₂) + (y₁+y₂) , 5(y₁+y₂) + (z₁+z₂)
           = 2x₁ + y₁ + 2x₂ + y₂ , 5y₁ + z₁ + 5y₂ + z₂
           = (2x₁ + y₁ , 5y₁ + z₁) + (2x₂ + y₂ , 5y₂ + z₂)
           = F(u) + F(v)
(Memenuhi Aksioma 1)

2) F(ku) = k.F(u)

F(ku) = F( k(x₁,y₁,z₁) )
         = F(kx₁,ky₁,kz₁)
         = ( 2kx₁+ky₁ , 5ky₁+kz₁ )
         = k (2x₁+y₁ , 5y₁+z₁ )
         = k.F(u)
(Memenuhi Aksioma 2)

∴ Jadi F merupakan Transformasi Linear.

Sebagai Latihan
1. Diketahui F : R² ➝ R³ , tentukan apakah F(a,b) = (2a-6b , a+b) merupakan Transformasi Linear?
2. Diketahui F : R² ➝ R³, tentukan apakah F(x,y) = (x+y , x, 3y) merupakan Transformasi Linear?
3. Diketahui F : R³ ➝ R², tentukan apakah F(x,y,z) = ($\frac{1}{2}$x-y , 4x+z). merupakan Transformasi Linear?
4. Diketahui F : M₂₂ ➝ M₂₂, tentukan apakah $F\left ( \begin{bmatrix}a &b \\ c &d \end{bmatrix} \right )=\begin{bmatrix}a+b & b\\ c & c+d\end{bmatrix}$ dengan a,b,c,d ∈ R merupakan Transformasi Linear?

Referensi : Catatan Kuliah