Menarik Akar Kuadrat - Metode Heron

       Metode orang Babylonia untuk menarik akar kuadrat kadang-kadang keliru, disebut “Metode Heron” karena setelah Heron dari Alexandria ( tahun 75 M) yang memasukan dalam bukunya Metrica. Ini adalah kasus-kasus dari metode iterasi Issac Newton (1642-1727). Secara garis besarnya sebagai berikut.

         Misal $a_1$  adalah bilangan bulat terbesar yang kurang dari akar R untuk n = 1,2,3,… Menghitung $a_{n+1}=\frac{1}{2}.(a_{n}+\frac{R}{a_n})$. Maka $a_{1},a_{2},a_{3},...$ adalah barisan yang mendekati $\sqrt{R}$

Untuk menemukan $\sqrt{2}$ orang Babylonia memprosesnya seperti Berikut:

$\LARGE a_{1}=1$
$\LARGE a_{2}=\frac{1}{2}.(1+\frac{2}{1})=\frac{3}{2}$
$\LARGE a_{3}=\frac{1}{2}.(\frac{3}{2}+\frac{2}{(\frac{2}{1})})=\frac{17}{12}$
$\LARGE a_{4}=\frac{1}{2}.(\frac{17}{12}+\frac{2}{(\frac{17}{12})})=\frac{577}{408}$
$\LARGE a_{5}=\frac{1}{2}.(\frac{557}{408}+\frac{2}{(\frac{577}{408})})=\frac{665857}{470832}$

Dan seterusnya sampai derajat akurasi yang diinginkan.

Contoh:
Gunakan cara orang Babylonia/ Metode Heron untuk mencari pendekatan $\sqrt{3}$ sampai dengan 5 suku !

Penyelesaian:

Diketahui:

Rumus : $\LARGE a_{n+1}=\frac{1}{2}.(a_{n}+\frac{R}{a_n})$
$\sqrt{R}=\sqrt{3}$ , R = 3


$\LARGE a_{1}=1$
$\LARGE a_{2}=\frac{1}{2}.(1+\frac{3}{1})=2$
$\LARGE a_{3}=\frac{1}{2}.(2+\frac{3}{2})=\frac{7}{4}$
$\LARGE a_{4}=\frac{1}{2}.(\frac{7}{4}+\frac{3}{(\frac{7}{4})})=\frac{97}{56}$
$\LARGE a_{5}=\frac{1}{2}.(\frac{97}{56}+\frac{3}{(\frac{97}{56})})=\frac{18817}{10864}$

∴ Jadi, Pendekatan dari $\LARGE \sqrt{3}=1;2;\frac{7}{4};\frac{97}{56};\frac{18817}{10864}$

Referensi : Catatan Kuliah