Vektor Eigen, Nilai Eigen dari Sebuah Matriks

 

Vektor Eigen, Nilai Eigen (blogaritma.net)

Definisi :
Persamaan Ax = λx
Ket :
A : Matriks
x : Vektor Eigen
λ : Nilai Eigen

Definisi :
Vektor Eigen x dari sebuah matriks A adalah yang memenuhi persamaan  Ax = λx, dimana λ disebut nilai eigen dan vektor eigen x bersesuaian dengan λ

Contoh:
Misal sebuah Matriks $A = \begin{bmatrix}11 & 3\\ -3 & 1\end{bmatrix}$ . Jika Ax = λx, dengan $x = \begin{bmatrix}1\\ -3\end{bmatrix}$, dan x = 2

Jawab:

$\begin{bmatrix}11 & 3\\ -3 & 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\\ -3\end{bmatrix}=2\begin{bmatrix}1\\ -3\end{bmatrix}$
$\begin{bmatrix}2\\ -6\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2\\ -6\end{bmatrix}$

Maka $\begin{bmatrix}1\\ -3\end{bmatrix}$ disebut vektor eigen dari matriks A dan λ = 2 disebut nilai eigen dari matriks A.

Contoh:
Tentukan nilai Eigen dan vektor Eigen dari matriks $\begin{bmatrix}1 & 1\\ -2 & 4\end{bmatrix}$!

Jawab:
 $\begin{bmatrix}1 & 1\\ -2 & 4\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1\\ x_2\end{bmatrix}=\lambda \begin{bmatrix}x_1\\ x_2\end{bmatrix}$
 $\begin{bmatrix}x_1+x_2\\ -2x_1+4x_2\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}\lambda x_1\\ \lambda x_2\end{bmatrix}$
$x_1+x_2=\lambda x_1$
$-2x_1+4x_2=\lambda x_2$

✔ Jika a.b = 0 dan b≠0 maka a=0

Untuk menentukan nilai x sebagai berikut
AIx = λIx
diubah Ax = λIx hasilnya = λx

✔  λIx - Ax = 0
✔ (λI - A)x = 0
dengan λ : det (λI - A) = 0

Dari persamaan : Ax = λx untuk menentukan nilai x dari det (λI - A) = 0
Misal Matriks $A=\begin{bmatrix}1 & 1\\ -2 & 4\end{bmatrix}$
det (λI - A) = 0

✔ det$\left [ \lambda \begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}1&1\\-2&4\end{bmatrix}=0 \right ]$

↔ det$\left [ \begin{bmatrix}\lambda&0\\0&\lambda\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}1&1\\-2&4\end{bmatrix}=0 \right ]$
↔ det$\begin{bmatrix}\lambda-1&-1\\2&\lambda-4\end{bmatrix}=0 $
↔(λ-1)(λ-4)+2=0
↔λ²-5λ+6=0
↔(λ-2)(λ-3)
Sehingga : λ = 2                     λ = 3

⚫Untuk λ = 2
↔$\begin{bmatrix}1 & 1\\ -2 & 4\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a\\ b\end{bmatrix}=2\begin{bmatrix}a\\ b\end{bmatrix}$
↔$\begin{bmatrix}a+b\\ -2a+4b\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2a\\ 2b\end{bmatrix}$
Dengan cara eliminasi substitusi didapat 0 = 0 (Benar)
∴ Banyak Jawab

 Salah satu vektor eigen x untuk λ = 2 adalah $x=\begin{bmatrix}1\\ 1\end{bmatrix}$

⚫Untuk λ = 3
↔$\begin{bmatrix}1&1\\ -2&4\end{bmatrix}\begin{bmatrix}c\\ d\end{bmatrix}=3\begin{bmatrix}c\\ d\end{bmatrix}$
Dengan Cara eliminasi substitusi didapat 0=0 (Benar)
∴ Banyak Jawab

Salah Satu vektor eigen x untuk λ = 3 adalah $x=\begin{bmatrix}1\\ 2\end{bmatrix}$

Untuk Latihan 
1. Tentukan nilai eigen dari matriks $A=\begin{bmatrix}1&1\\ 4&1\end{bmatrix}$

Semoga Bermanfaat!!

Sumber : Catatan Kuliah Aljabar Linear