Soal-Soal Limit Dasar 1

1. Hitung

$\lim_{x\rightarrow 2}\left ( x^2-3x+8 \right )$

Jawab : Dengan menggunakan teorema substitusi

$\lim_{x\rightarrow 2}\left ( x^2-3x+8 \right )= 2^2-3.2+8=6$

2. Tentukan

$\lim_{x\rightarrow -4}\frac{x^2+x-12}{x+4}$

Jawab :
Dengan difaktorkan terlebih dahulu, sebab jika disubstitusikan langsung diperoleh 0/0 (tak tentu)

$\lim_{x\rightarrow -4}\frac{x^2+x-12}{x+4}= \lim_{x\rightarrow -4}\frac{(x+4)(x-3)}{(x+4)}$
$=\lim_{x\rightarrow -4}(x-3)$
$=-4-3 = -7$

3. Tentukan nilai

$\lim_{x\rightarrow 2}\frac{x-4}{\sqrt{x}-2}$

Jawab :

$\lim_{x\rightarrow 4}\frac{x-4}{\sqrt{x}-2}= \lim_{x\rightarrow 4}\frac{(\sqrt{x})^2-2^2}{\sqrt{x-2}}$

$=\lim_{x\rightarrow 4}\frac{(\sqrt{x}+2)(\sqrt{x-2})}{\sqrt{x}-2}$

$=\lim_{x\rightarrow 4}(\sqrt{x}+2)$

$=\sqrt{4+2}=4$
Cara 2
Misalkan $\small \sqrt{x}=y \rightarrow x = y^2$
Untuk $\small x\rightarrow 4$ maka $\small y\rightarrow 2$ , sehingga soal di atas menjadi

$\lim_{x\rightarrow 2}\frac{x-4}{\sqrt{x-2}}= \lim_{x\rightarrow 2}\frac{y^2-4}{y-2}$

$= \lim_{x\rightarrow 2}\frac{(y+2)(y-2)}{(y-2)}$

$= 2+2=4$
4. Tentukan nilai dari

$\lim_{x\rightarrow 2}\frac{\sqrt{2+x}-\sqrt{2x}}{x-2}$

Jawab :

$\lim_{x\rightarrow 2}\frac{\sqrt{2+x}-\sqrt{2x}}{x-2}=\lim_{x\rightarrow 2}\frac{\left ( \sqrt{2+x}-\sqrt{2x} \right )}{\left ( x-2 \right )}.\frac{\left ( \sqrt{2+x}+\sqrt{2x} \right )}{\left ( \sqrt{2+x}+\sqrt{2x} \right )}$

$=\lim_{x\rightarrow 2}\frac{(2+x)-(2x)}{(x-2)(\sqrt{2+x}+\sqrt{2x})}$

$=\lim_{x\rightarrow 2}\frac{2+x}{(x-2)(\sqrt{2+x}+\sqrt{2x})}$

$=\lim_{x\rightarrow 2}\frac{-1}{(\sqrt{2+x}+\sqrt{2x})}$
$=\frac{-1}{(\sqrt{2+2}+\sqrt{2.2})}$
$=\frac{-1}{(\sqrt{4}+\sqrt{4})}$
$=-\frac{1}{4}$
6. Hitunglah :

$a.\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x}{2x} ;b.\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-\cos x}{x^2} ; c. \lim_{x\rightarrow 0}\frac{\tan 3x}{\sin 5x}$

Jawab:

$a.\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x}{2x} = \lim_{x\rightarrow 0}\frac{1}{2}\left ( \frac{\sin x}{x} \right )$

   $= \frac{1}{2}.1=\frac{1}{2}$

$b.\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-(1-2\sin ^2.\frac{1}{2}x)}{x^2}$

$=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{2\sin ^2.\frac{1}{2}x(\frac{1}{2}x)^2}{(\frac{1}{2}x)^2x^2}$

$=\frac{1}{2}$

$c.\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\tan 3x}{\sin 5x}=\lim_{x\rightarrow 0}(\frac{\tan 3x}{3x})(\frac{5x}{\sin 5x}).\frac{3}{5}$

   $=1.1.\frac{3}{5}=\frac{3}{5}$
7. Selidiki ontinuitas fungsi yang didefinisikan sebagai $f(x)=x^2$ di x=2

Jawab : Selidiki dulu apakah tiga syarat fungsi kontinu dipenuhi :
$f(x)=x^2$

1. f(a) ada
   $f(2)=2^2=4\rightarrow f(a) ada$

2.    $\lim_{x\rightarrow a} f(x) ada$
$\lim_{x\rightarrow 2}=\lim_{x\rightarrow 2}x^2=4$

3. $\lim_{x\rightarrow a}f(x)= f(a)$
$\lim_{x\rightarrow 2}f(x)= f(2)$

Maka fungsi f kontinu di x=2

8. Buktikan bahwa

$\lim_{x\rightarrow 4}(3x-7)=5$

Jawab :
Analisis pendahuluan :
Misalkan $\varepsilon > 3$ sembarang, kita harus dapat menemukan bilangan $\delta > 0$ sedemikian sehingga apabila $0< |x-4|< \delta$ berlaku $|(3x-7)-5|< \varepsilon$

Perhatikan $|(3x-7)-5|< \varepsilon \Leftrightarrow |3x-12|< \varepsilon$
   $\Leftrightarrow |3(x-4)|< \varepsilon$
$\Leftrightarrow |3||x-4|< \varepsilon$
   $\Leftrightarrow|x-4|< \frac{\varepsilon }{3}$
Oleh karena itu dapat dipilih $\delta =\frac{\varepsilon }{3}$ .Tentu saja dapat dipilih bilangan $\delta$ yang kurang dari $\frac{\varepsilon }{3}$ .

Bukti :
Ambil sembarang bilangan $\varepsilon > 0$ , kita pilih $\delta > 0$ , yaitu $\delta =\frac{\varepsilon }{3}$ . Apabila $0< |x-4|< \delta$ , maka berlaku $|(3x-7)-5|=|3x-12|$
   $=|3(x-4)|$
   $=|3||x-4|$
   $=3|x-4|$

   $< 3\delta =3.\frac{\varepsilon }{3}=\varepsilon$
Jadi, terbukti $\lim_{x\rightarrow 4}(3x-7)=5$

9. Buktikan bahwa

$\lim_{x\rightarrow 2}\frac{2x^2-3x-2}{x-2}=5$

Jawab :
Analisa pendahuluan :
Misalkan $\varepsilon > 0$ sembarang, kita harus menemukan bilangan $\delta > 0$ sedemikian sehingga apabila $0< |x-2|< \delta$ berlaku $|\frac{2x^2-3x-2}{x-2}-5|< \varepsilon$

Perhatikan :

$|\frac{2x^2-3x-2}{x-2}-5|< \varepsilon \Leftrightarrow |\frac{(2x+1)(x-2)}{x-2}-5|< \varepsilon$

   $\Leftrightarrow |(2x+1)-5|< \varepsilon$

   $\Leftrightarrow |2(x-2)|< \varepsilon$

   $\Leftrightarrow |2||x-2|< \varepsilon$

   $\Leftrightarrow |x-2|< \frac{\varepsilon }{2}$
Oleh karena itu, dapat dipilih $\delta =\frac{\varepsilon }{2}$ atau yang lebih kecil dari $\frac{\varepsilon }{2}$

Tuesday, May 06, 2014

Soal-Soal Limit Dasar 1

No comments:

Post a Comment

Paling Banyak Dilihat

Facebook

Recent

Comments

Total Pageviews