Cara Mengerjakan Persamaan Diferensial Berbentuk (ax + by + c)dx + (px + qy + r)dy = 0

Persamaan ini merupakan persamaan linear, tetapi tidak homogen. Perhatikan bentuk persamaan diferensial di bawah ini:

$(ax+by+c)dx+(px+qy+r)dy=0$

dimana a, b, c, p, q, dan r merupakan suatu konstanta.
Ada 4 kemungkinan yang dapat terjadi:

Kondisi 1:
Jika c = 0 dan r = 0 maka PD menjadi $(ax+b)dx+(px+q)dy=0$

Kondisi 2 :
Jika $c \neq 0 ; r \neq 0$ dan determinan $\begin{vmatrix}a &b \\ p &q \end{vmatrix}\neq 0$, maka untuk mencari SU pada PD tersebut yaitu dengan cara memisalkan variabel baru u dan v sebagai berikut.
Misal $u=ax+by+c$ dan $v=px+qy+r$, PD di atas berubah menjadi $udx+vdy=0$, kemudian u dan v didefinisikan sebagai berikut.
$du=adx+bdy.....(i)$
$dv=pdx+qdy.....(ii)$
Dari (i) dan (ii) dapat dicari dx dan dy, lalu substitusikan ke dalam PD + vdy = 0 sebagai berikut:
$dx=\frac{\begin{vmatrix}du &b \\ dv &q \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a &b \\ p &q \end{vmatrix}}=\frac{qdu-bdv}{(aq-bp)}$
$dy=\frac{\begin{vmatrix}a &du \\ p &qdv\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a &b \\ p &q \end{vmatrix}}=\frac{adv-pdu}{(aq-bp)}$

Sehingga didapat PD udx + vdy = 0 berubah menjadi:

$u\left ( \frac{qdu-bdv}{aq-bp} \right )+v\left ( \frac{adv-pdu}{aq-bp} \right )=0$   kalikan (aq-bp)
$u(qdu-bdv)+v(adv-pdu)=0$
$(uq-vp)du+(av-bu)dv=0$ merupakan PDH, karena merupakan PDH maka untuk mencari SU yaitu dengan cara memisalkan variabel baru $z=\frac{v}{u}\rightarrow v=uz \rightarrow dv=zdu+udz$
Lalu integralkan kedua ruas, hasilnya substitusi $=\frac{v}{u}$, kemudian substitusi $u=ax+by+c$ dan $v=px+qy+r$ sehingga didapat SU dalam variabel (x,y,c) = 0

Kondisi 3: 
Jika $c \neq 0 ; r \neq 0$ dan determinan $\begin{vmatrix}a &b \\ p &q \end{vmatrix}\neq 0$, dan $\frac{a}{p}\neq \frac{c}{r}$ maka untuk mencari SU dar PD tersebut yaitu dengan cara memisalkan $\frac{a}{p}=\frac{b}{q}=m$, maka $a=mp$ dan $b=mq$, sehingga apabila disubstitusikan pada persamaan awal menjadi:
$(ax+by+c)dx+(px+qy+r)dy=0$
$(ax+by)dx+c dx+(px+qy+r)dy=0$
$(mpx+mqy)dx+c dx+(px+qy+r)dy=0$
$m(px+qy)dx+ c dx+(px+qy+r)dy=0....(i)$
ambil $u=px+qy$
$du=pdx+qdy$
$dx=\frac{du-qdy}{p}$
atau $dy=\frac{du-pdx}{q}$
Substitusikan dx dan dy ke persamaan (i) diperoleh:
$mu\left (\frac{du-qdy}{p}  \right )+c\left (\frac{du-qdy}{p}\right )++r)dy=0$
$mu(du-qdy)+c(du-qdy)+p(u+r)dy=0$
$mu du-q mu dy+cdu-qcdy+pudy+prdy=0$
$(mu+c)du+(pu+pr-qmu-qc)dy=0$
$(mu+c)du+[(p-qmu)u+(pr-qc)]dy=0$

PD terakhir ini adalah bentuk PD yang peubahnnya dapat dipisah. Selanjutnya diintegralkan.

Kondisi 4:
Jika $\frac{a}{p}=\frac{b}{q}=\frac{c}{r}=m$, maka PD berubah menjadi $mdx+dy=0$, selanjutnya integralkan.