Perkembangan matematika pada abad pertengahan di Eropa seiring
dengan lahirnya Leonardo dari Pisa yang lebih dikenal dengan julukan Fibonacci
(artinya anak Bonaccio). Bonaccio sendiri artinya anak bodoh, tapi dia bukan
orang bodoh karena jabatannya adalah seorang konsul yang wewakili Pisa. Jabatan
yang dipegang ini membuat dia sering bepergian. Bersama anaknya, Leonardo, yang
selalu mengikuti ke negara mana pun dia melakukan lawatan.
Fibonacci menulis buku Liber Abaci setelah terinspirasi pada
kunjungannya ke Bugia, suatu kota yang sedang tumbuh di Aljazair. Ketika
ayahnya bertugas di sana, seorang ahli matematika Arab memperlihatkan keajaiban
sistem bilangan Hindu-Arab. Sistem yang mulai dikenal setelah jaman Perang
Salib. Kalkulasi yang tidak mungkin dilakukan dengan menggunakan notasi
(bilangan) Romawi. Setelah Fibonacci mengamati semua kalkulasi yang dimungkinkan
oleh sistem ini, dia memutuskan untuk belajar pada matematikawan Arab yang
tinggal di sekitar Mediterania. Semangat belajarnya yang sangat mengebu-gebu
membuat dia melakukan perjalanan ke Mesir, Syria, Yunani, Sisilia.
Mengarang buku
Tahun 1202 dia menerbitkan buku Liber Abaci dengan menggunakan –
apa yang sekarang disebut dengan aljabar, dengan menggunakan numeral
Hindu-Arabik. Buku ini memberi dampak besar karena muncul dunia baru dengan
angka-angka yang bisa menggantikan sistem Yahudi, Yunani dan Romawi dengan
angka dan huruf untuk menghitung dan kalkulasi.
Pendahuluan buku berisi dengan bagaimana menentukan jumlah digit
dalam satuan numeral atau tabel penggandaan (baca: perkalian) dengan angka
sepuluh, dengan angka seratus dan seterusnya. Kalkulasi dengan menggunakan
seluruh angka dan pembagian, pecahan, akar, bahkan penyelesaian persamaan garis
lurus (linier) dan persamaan kuadrat. Buku itu dilengkapi dengan latihan dan
aplikasi sehingga menggairahkan pembacanya. Dasar pedagang, ilustrasi dalam
dunia bisnis dengan angka-angka juga disajikan. Termasuk di sini adalah
pembukuan bisnis (double entry), penggambaran tentang marjin keuntungan,
perubahan (konversi) mata uang, konversi berat dan ukuran (kalibrasi), bahkan
menyertakan penghitungan bunga. (Pada jaman itu riba, masih dilarang). Penguasa
pada saat itu, Frederick, yang terpesona dengan Liber Abaci, ketika mengunjungi
Pisa, memanggil Fibonacci untuk datang menghadap. Dihadapan banyak ahli dan
melakukan tanya-jawab dan wawancara langsung, Fibonacci memecahkan problem
aljabar dan persamaan kuadrat.
Pertemuan dengan Frederick dan pertanyaan-pertanyaan yang diajukan
oleh ahli-ahli tersebut, dibukukan dan diterbitkan tidak lama kemudian. Tahun
1225 dia mengeluarkan buku Liber Quadrotorum (buku tentang Kuadrat) yang
dipersembahkannya untuk Sang raja. Dalam buku itu tercantum problem yang mampu
mengusik “akal sehat” matematikawan yaitu tentang problem kelinci beranak-pinak
Pertanyaan sederhana tapi diperlukan kejelian berpikir.
“Berapa pasang kelinci yang akan beranak-pinak selama satu tahun.
Diawali oleh sepasang kelinci, apabila setiap bulan sepasang anak kelinci
menjadi produktif pada bulan kedua”
- Akhir bulan kedua, mereka kawin dan kelinci betina I melahirkan
sepasang anak kelinci beda jenis kelamin.
- Akhir bulan kedua, kelinci betina melahirkan sepasang anak baru,
sehingga ada 2 pasang kelinci.
- Akhir bulan ketiga, kelinci betina I melahirkan pasangan kelinci
kedua, sehingga ada 3 pasang kelinci.
- Akhir bulan keempat, kelinci betina I melahirkan sepasang anak
baru dan kelinci betina II melahirkan sepasang anak kelinci, sehingga ada 5
pasang kelinci.
Akan diperoleh jawaban: 55 pasang kelinci. Bagaimana bila proses
itu terus berlangsung seratus tahun? Hasilnya (contek saja):
354.224.848.179.261.915.075.
Apakah ada cara cepat untuk menghitungnya? Di sini Fibonacci
memberikan rumus bilangan yang kemudian dikenal dengan nama deret Fibonacci.
Deret Fibonacci
Orang Kristen menolak angka nol; namun pedagang dalam melakukan transaksi
membutuhkan angka nol. Alasan yang dipakai oleh Fibonacci adalah nol sebagai
batas. Apabila diperoleh hasil negatif berarti kerugian. Orang yang mengenalkan
angka nol ini ke dunia Barat adalah Leonardo dari Pisa. Meskipun ayahnya
seorang Konsul sekaligus pedagang, profesi Fibonacci – tidak mau menjadi
konsul, adalah seorang pedagang. Anak muda – yang lebih dikenal dengan nama
Fibonacci – belajar matematika dari orang-orang Islam dan menjadi matematikawan
piawai dengan cara belajar sendiri. Menemukan deret bilangan yang diberi nama
seperti namanya.
Deret Fibbonacci yaitu: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144,
233, 377, 610, 987 …
Pola deret di atas terbentuk dari susunan bilangan berurutan (dari
kecil makin besar) yaitu merupakan penjumlahan dua bilangan sebelumnya. Angka
3, urutan keempat, adalah hasil penjumlahan 1 (urutan 2) + 2 (urutan 3); angka
5 urutan kelima, adalah hasil penjumlahan 2 (urutan 3) + 3 (urutan 4); angka 8
urutan keenam, adalah hasil penjumlahan 3 (urutan 4) + 5 (urutan 5) dan
seterusnya. Deret di atas mampu menjawab problem kelinci beranak-pinak, alur
bunga lily, pola dan jumlah mata nanas, jumlah kelopak dan alur spiral bunga
jenis-jenis tertentu. Lewat deret Fibonacci ini dapat diketahui diketahui
urutan atau alur yang akurat pada alam. Ukuran ruangan binatang berkulit lunak
(moluska) yang berbentuk spiral, nautilus *; jumlah searah jarum jam atau
berlawanan jarum jam ‘mata‘ nanas, jumlah kelopak bunga matahari dan ada 2 alur
spiral (ke kanan 34 dan ke kiri 55) sesuai dengan deret Fibonacci.
Kaitan dengan nisbah emas
Nisbah emas sudak dikenal sejak jaman Pythagoras. Disebutkan bahwa
alam tampaknya diatur oleh nisbah emas. “Kesaktian” nisbah ini mendasari
arsitektur bangunan jaman dahulu, khususnya di Yunani. Bentangan pilar dan
tinggi Panthenon merupakan perbandingan hasil nisbah emas.
Perhatikan hasil pembagian bilangan-bilangan pada deret Fibonacci
di bawah ini.
1/1; 2/1; 3/2; 5/3; 8/5; 13/8; 21/13; 34/21; 55/34; 89/55; 144/89…
Pola apa yang terjadi? Bilangan hasil pembagian menunjukkan sesuatu
yang istimewa sehingga disebut dengan seksi emas (golden section). Nama ini
mirip dengan nisbah emas. Memang ada hubungan erat antara seksi emas dan nisbah
emas seperti dapat dilihat pada tabel dan gambar di bawah ini.
Deret 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144
Pembagi 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89
Hasil 1 2 1,5 1,66 1,6 1,625 1,615 1,619 1,617 1,618 1,618
Barangkali kenyataan ini mampu menjawab pertanyaan mengapa deret
Fibonacci mendekati nisbah emas.
Ambil contoh dua bilangan: a, b, a+b (deret Fibonacci) dan b/a
(nisbah emas) kemudian diperbandingkan
b/a ≈ (a+b)/b
b/a (nisbah emas) ≈ a/b + 1 (seksi emas)
Substitusikan nisbah emas dengan notasi Φ (phi) untuk persamaan di
atas.
Φ = 1/Φ + 1 (kalikan ruas kiri dan kanan dengan F) hasil:
Φ² - Φ – 1 = 0
Φ = (1+ √5)/2 ≈ 1,618
Revolusi Fibonacci
Topik dalam buku Liber abaci juga menjelaskan proses aritmatik,
termasuk cara mencari akar bilangan. Problem-problem dalam buku ini lebih
ditekankan untuk penggunaan dalam transaksi perdagangan, sistem pecahan untuk
menghitung pertukaran mata uang. Fibonacci menggunakan pecahan – biasa,
bilangan berbasis enam puluh (seksadesimal) dan satuan – bukan bilangan
berbasis sepuluh (desimal). Penulisan 5/12 28 biasa kita kenal sebagai 28 5/12.
Dia juga menempatkan bilangan pecahan berupa komponen-kompenen yang belum
dijumlah. Penulisan 115/6, sebagai contoh, ditulis dengan 1/3 ½ 11. Tidak puas
dengan kebingungan ini pecahan satuan ternyata lebih membingungkan. Pecahan 98/100,
sebagai contoh, dipecah menjadi 1/100 1/50 1/5 ¼ ½, dan 99/100 ditulis dengan
1/25 1/5 ¼ ½.
Sumbangsih
Mengenalkan angka nol dan menghitung pola-pola alam tidak lazim
sekaligus memberi dasar pada pengenalan aljabar ke dunia Barat adalah
sumbangsih terbesar Fibonacci. Mampu menciptakan deret Fibonacci yang memberi
jawaban atau alasan tentang pola alam seperti yang dijabarkan dalam nisbah
emas. Adopsi angka nol untuk penulisan dan melakukan perhitungan di Eropa –
mengubah sistem bilangan Romawi yang tidak efisien – dengan sistem bilangan
Hindu-Arabik ini kelak sangat mempengaruhi perkembangan matematika di benua
Eropa. Sistim bilangan pecahan Fibonacci yang rumit, kemudian disederhanakan
untuk kepentingan perdagangan. Perhatikanlah perubahan harga saham-saham yang
diperdagangkan di Wall Street menggunakan sistem pecahan.
referensi : http://koleksi-biografi.blogspot.com/
No comments:
Post a Comment