Kebebasan Linear dan Pembahasan

Kebebasan Linear (blogartima.net)

Definisi:
Jika S = { v₁ , v₂ , … v_r } adalah himpunan vector, maka persamaan vektor 

k₁v₁ + k₂v₂ +……+ k_rv_r = 0

mempunyai paling sedikit satu pemecahan 

k₁ = 0
k₂ = 0
k_r = 0

Jika ini adalah satu-satunya pemecahan, maka S kita namakan himpunan bebas linear (linearly independent). Jika ada pemecahan lain, maka S kita namakan himpunan tak - bebas linear (linearly dependent)

Contoh soal:
Tentukan apakah himpunan berikut ini bebas linear?
1) S = { (2,1,1) , (3,1,0) , (2,1,-3) }
2) S = { (1,2,1) , (2,4,2) , (2,-1,-2) }

Jawab:
1) S = { (2,1,1) , (3,1,0) , (2,1,-3) }

k₁v₁ + k₂v₂ +……+ k_rv_r = 0

menjadi

k₁(2,1,1) + k₂(3,1,0) + k₃(2,1,-3) = (0,0,0)
(2k₁ + 3k₂ + 2k₃ ,k₁ + k₂ + k₃ ,k₁ - 3k₃) = (0,0,0)

didapat SPL

2k₁ + 3k₂ + 2k₃  = 0
k₁ + k₂ + k₃        = 0
k₁           - 3k₃      = 0

$\begin{bmatrix}2 &3  &2 \\ 1 &1  &1 \\ 1 &0  &-3 \end{bmatrix}$ 

Karena determinan dari matriks tersebut adalah 4

dengan aturan cramer, maka didapat k₁ = 0/4 , k₂ = 0/4, dan k₃ = 0/4.

Jadi persamaan tersebut mempunyai satu-satunya pemecahan yaitu k₁=k₂=k₃ = 0 maka S bebas Linear.

Untuk soal nomor 2 coba anda kerjakan, apakah bebas linear apakah tak-bebas linear ?