Keterbagian dan Pembahasan

Definisi:
Bilangan bulat b disebut terbagi oleh bilangan bulat a, jika ada bilangan bulat x sehingga b = ax, ditulis a|b untuk a membagi b, atau b terbagi a. Jika a tidak membagi b, maka a∤b

Simbolik:
 a|b ↔ ∃x∈B∋b = ax ∧ a∤b ↔ ∄x∈B∋b = a

Catatan:
Istilah “membagi” atau “terbagi” di sini diartikan “membagi habis” atau “terbagi habis” sehingga tidak ada sisa atau sisanya 0 (nol).

Sifat-sifat keterbagian:
1.  a|a ( sifat refleksif)
2.  a | b dan b | c maka a | c ( sifat transitif)
3.  a | b maka a | mb , untuk setiap bilangan bulat m.
4.  a | b dan a | c maka a | b + c , a | b – c  atau a | bc
5.  ab | c maka b | c dan a | c
6.  a | b dan a |c maka a | ( bx + by ) untuk setiap bilangan bulat x dan y.

Teorema 1
Jika a|b maka a|bc untuk c bilangan bulat sebarang

Contoh:
a|b →a|b x c,∀c∈{…,-3,-2,-1,0,1,2,3,…}

Teorema 2
Jika a|b dan b|c maka a|c
⚫ Bukti:
a|b →∃k∈B∋b = ak
b|c →∃l∈B∋c = bl
c = b.l
c = ak .l ∃ kl∈B
a|c (Terbukti)

✔Contoh:
2|4 dan 4|8→2|8

Teorema 3
Jika a|b dan a|c maka a|(bx+cy) untuk x dan y bilangan bulat.
⚫ Bukti:
a|b → ∃k∈B∋b = ak  dikali x jadi bx = akx ............ (1)
a|c → ∃l∈B∋c = al dikali y jadi cy = aly  ................(2)

dari (1) dan (2) didapat :

bx+cy = akx + aly
           = a(kx+ly)
Jika (kx+ly) = z maka (bx+cy) = az (z bilangan bulat) sehingga a|(bx+cy)

✔Contoh:
2|4 dan 2|8 → 2|(4x+by),∀x dan y ∈ {…,-3,-2,-1,0,1,2,3,…}

Teorema 4
Jika a|b dan b|a maka a = ±b
⚫ Bukti:
a|b → ∃k∈B∋b = ak 
b|a → ∃l∈B∋a = bl
a = b.l
a = (ak).l
a = a(kl). Karena a ≠ 0 maka kl = 1. Jika k =1 maka l = 1 dan jika k = -1 maka q = -1. Jadi a = -b atau a = b atau a = ±b

✔Contoh:
2|2 dan 2|-2 atau -2|2 dan -2|-2

Teorema 5
Jika a|b, a > 0 dan b > 0, maka a ≤ b

✔Contoh:
2|2 → 2 = 2 dan  2|8 → 2 < 8

Teorema 6
Jika a|b, b ≠ 0 maka |a| ≤ |b|

Sumber Referensi : Dr. Nanang.2010.Teori Bilangan.STKIP Garut