Induksi Matematik dan Pembahasan

1. Benar untuk n = 1 atau p(1)
2. Diasumsikan benar untuk n = k atau p(k)
3. Perlihatkan benar untuk n =k+1 atau p(k+1)

Tambahan :

Rumus

$S = 2a + (n-1).b$ atau $S = \frac{n}{2}(2a + (n-1).b)$ atau $S = \frac{n}{2}(a + Un)$

⚫ Contoh:
1. Buktikan 1 + 3 + 5 + … + (2n-1) = n²

Jawab:
Langkah-langkah

✔ Benar untuk n = 1
1 + 3 + 5 + … + (2n-1) = n²
n = 1
2n-1 = n²
2.1-1 = 1²
1=1 ( Benar )

✔ Diasumsikan benar untuk n = k
1 + 3 + 5 + … + (2k-1) = k² ( Dianggap Benar)

✔ Perlihatkan benar untuk n = k+1
1 + 3 + 5 + … + (2k-1) + (2(k+1)-1) = (k+1)²
Pemeriksaan:
1 + 3 + 5 + … + (2k-1) + (2(k+1)-1)     = (1 + 3 + 5 + … + (2k-1)) + (2(k+1)-1)
                    = k² + (2(k+1)-1)
                    = k² + 2k +2-1
                    = k² + 2k + 1
                    = ( k+1 )² 
                    ( Terbukti Benar )

2. Buktikan bahwa 1² + 2² + 3² +…+n² = $\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$
Jawab:
Langkah-langkah:

✔ Benar untuk n = 1
n² = $\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$
1² = $\frac{1(1+1)(2.1+1)}{6}$
1² = $\frac{6}{6}$
1=1 ( Benar )

✔ Diasumsikan benar untuk n = k
1² + 2² + 3² +…+k² = $\frac{k(k+1)(2k+1)}{6}$ (Dianggap BENAR)

✔ Perlihatkan benar untuk n = k+1
1² + 2² + 3² +…+k² + (k+1)² = $\frac{(k+1)((k+1)+1)(2(k+1)+1)}{6}$
Pemeriksaan:
1² + 2² + 3² +…+k² + (k+1)² = ( 1² + 2² + 3² +…+k²) + (k+1)²
                = $\frac{k(k+1)(2k+1)}{6} + (k+1)^2$
                = $\frac{k(k+1)(2k+1)}{6}+\frac{6(k+1)^2}{6}$
                = $\frac{k(k+1)(2k+1)+6(k+1)}{6}$
                = $\frac{(k+1)[k(2k+1)+6(k+1)]}{6}$
                = $\frac {(k+1)(2k^2+7k+6)}{6}$
                = $\frac {(k+1)(k+2)(2k+3)}{6}$
                = $\frac {(k+1)(k+1)+1)(2(k+1)+1)}{6}$
                (Terbukti BENAR)

LATIHAN SOAL
    Buktikan bahwa :
    1 + 2 + 3 +…+ n = $\frac{n(n+1)}{2}$
    1² + 3² + 5² +…+(2n-1)² = $\frac{n(2n-1)(2n+1)}{3}$
    1⁴ + 2⁴ + 3⁴ +…+ n⁴= $\frac{n(n+1)(6n^3+9n^2+n -1)}{30}$

Sumber Referensi : Dr.Nanang.2010.Teori Bilangan.STKIP Garut