Pemetaan/ Fungsi - Struktur Aljabar

Pemetaan/Fungsi (blogaritma.net)

Definisi:
Suatu relasi f : A⟶B disebut fungsi bila dan hanya bila ∀x ∈ A ada tepat ∀y ∈ A ∋ f(x) = y

Syarat sebuah fungsi:

1. Surjektif
Definisi:
Suatu fungsi/pemetaan f disebut pemetaan onto/kepada (surjektif) bila dan hanya bila ∀y ∈ B, ∃ x ∈ A ∋ f(x) = y

2. Injektif
Definisi:
Suatu fungsi/pemetaan f disebut pemetaan satu-satu (injektif) bila dan hanya bila ∀x,y ∈ A, ∃ x ∈ A ∋ x ≠ y ⟶ f(x) ≠ f(y) atau ∀x,y ∈ A ∋ f(x) = f(y) ⟶ x = y

3. Bijektif
Definisi
Suatu fungsi/pemetaan f disebut pemetaan korespondensi satu-satu (Bijektfi) bila dan hanya bila f surjektif dan f injektif.

Contoh:

Misal f: R⟶R ( R = Himpunan bilangan real). Periksalah apakah fungsi f berikut merupakan fungsi surjektif, injektif atau bijektif?

a. f(x) = x³ - 1
b. f(x) = x² - 3x + 2
c. f(x) = x² - 5
d. f(x) = 2x + 3
e. f(x) = |x - 1|

Penyelesaian:

a. f(x) = x³ - 1

• Buktikan Injektif

f(x) = f(y)

x³ - 1 = y³ - 1
x³ = y³
x³ - y³ = 0
(x - y)(x² + xy + y²)

Karena bentuk (x² + xy + y²) selalu bernilai positif (definit Positif), maka (x - y) = 0 sehingga x = y
Jadi, fungsi f adalah fungsi injektif

• Buktikan Surjektif

Ambil y ∈ R dan f(x) = y, maka:
x³ - 1 = y
x³ = y + 1

$x=\sqrt[3]{y+1}\in R$

$x=\sqrt[3]{y+1}\in R,\forall y\in R,\exists x=\sqrt[3]{y+1}\in R\ni f(x)=y $

Jadi fungsi f onto atau f fungsi adalah surjektif

Bijektif?
Karena fungsi f Injetif dan Surjektif, maka fungsi f merupakan Bijektif.

Sumber : S.Sukanto. STRUKTUR ALJABAR 1.Garut.STKIP Garut