Soal dan Pembahasan Analisis Vektor

1. Titik A(4,7,0), B(6,10,-6), C(1,9,0), $\vec{AB}= \vec{u}$ dan $\vec{AC}= \vec{v}$.Sudut BAC adalah sudut yang dibentuk oleh vektor $\vec{u}$ dan $\vec{v}$ , maka besar sudut BAC = ....
A. $\frac{1}{3}\Pi$                            D. $\frac{5}{6}\Pi$
B. $\frac{1}{4}\Pi$                            E. $\frac{1}{2}\Pi$
C. $\frac{2}{3}\Pi$

Pembahasan:

 Diketahui:
A (4,7,0)            $\vec{AB}=\vec{u}$
B (6,10,-6)        $\vec{AC}=\vec{v}$
C (1,9,0)

Ditanyakan :
Besar sudut BAC?



Jawab :
$\vec{u}=\vec{b}-\vec{a}$                       $\vec{v}=\vec{c}-\vec{a}$                               
= (6,10,-6) - (4,7,0)                                    = (1,9,0) - (4,7,0)
= (2,3,-6)                                                     = (-3,2,0)

$\left | \vec{a} \right |=\sqrt{2^{2}+3^{2}+(-6)^{2}}$
$=\sqrt{4+9+36}$
$=\sqrt{49}=7$

$\left | \vec{b} \right |=\sqrt{(-3)^{2}+2^{2}+0^{2}}$
$=\sqrt{9+4+0}$
$=\sqrt{13}$

$\cos \alpha =\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{\left | \vec{a} \right |\cdot \left | \vec{b} \right | } $
$=\frac{(2,3,-6)\dot(-3,2,0)}{7\sqrt{13}}$
$=\frac{-6+6-3}{7\sqrt{13}}=\frac{0}{7\sqrt{13}}=0$

$\therefore \cos \alpha =0 \rightarrow \alpha =90^{o}$ atau $\frac{1}{2}\Pi$

Jawaban : E

                                  
2. Diberikan persegi panjang OABC dengan panjang OA - 12 dan AB = 5. Jika $\vec{OA}=\vec{a}$ dan $\vec{OB}=\vec{b}$, maka $\vec{a}\cdot\vec{b}$=...
A. 13            D. 149
B. 60            E. 156
C. 144

Pembahasan :

Diketahui :
$\vec{OA}=\vec{a}=12$
$\vec{OB}=\vec{b}$
$\vec{AB}=5$

Ditanyakan :
$\vec{a}\cdot\vec{b}$

Jawab :
$\vec{b}=\sqrt{5^{2}+12^{2}}$
$=\sqrt{25+144}$
$=\sqrt{169}=13$

$\vec{a}\cdot\vec{b}= 12 × 13 × \frac{12}{13}=144$

Jawaban : C

3. Diberikan titik A(3,-5,-4), B(6,-1,3), dan C(12,n,m). Jika A,B,C segaris, nilai (m-n) = ...
A. -24        D. 14
B. -10        E. 24
C. 10

Pembahasan :
Diketahui :                               Ditanyakan :
A(3,-5,-4)                                (m-n)
B(6,-1,3)
C(12,n,m)

Jawab:
$\vec{AB}=\vec{a}-\vec{b}$
= (6,-1,3)-(3,-5,-4)
= (3,4,7)
$\vec{BC}=\vec{c}-\vec{b}$
= (12,n,m)-(6,-1,3)
= (6, n+1, m-3)

Dikatakan segaris jika :
$\vec{AB}=k\cdot\vec{BC}$
(3,4,7) = k . (6,n+1,m-3)
(3,4,7) = (6k, nk+k,mk-3k)

didapat
⌦ 6k = 3
k = $\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$

⌦ nk+k =4
$n(\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}) = 4$
$\frac{n}{2}=\frac{7}{2}$
n=7

⌦ mk-3k =7
$\frac{m}{2}-\frac{3}{2}=7$
$\frac{m}{2}=\frac{17}{2}$
m = 17

maka (m-n) = (17- 7) = 10

Jawaban : 10