Bilangan Sempurna dan Pembuktian Bilangan Sempurna

        Bilangan-bilangan sempurna selalu menarik sebagai bilangan aneh. Dalam De Institutionne Arithmetica Boethius (475-524 M) mendefinisikan bilangan superfluous adalah s(n) > 2n, dan bilangan diminished dengan s(n) <n.

Di dalam City of God, Bishop Augustine (354-430 M)" Enam bilangan sempurna dengan sendirinya dan bukan karena Tuhan menciptakan semua benda dalam enam hari, akan tetapi, sebaliknya benar. Tuhan menciptakan semua benda dalam enam hari karena bilangan ini adalah bilangan sempurna, dan tidak akan sempurna jika pekerjaan dari enam hari tidak terwujud."

Contoh 1:
Buktikan bahwa bilangan bulat positif berbentuk $n = 2^{m-1}(2^{m}-1)$ dengan $2^{m}-1$ bilangan prima adalah bilangan sempurna

✔ Jawab:
Bukti:

Misal : $p =2^{m}-1$
      $n=2^{m-1}(2^{m}-1)=2^{m-1}.p$

→ Faktor-faktor dari n adalah $1,2,2^2,...,2^{m-1},p,2p,2^{2}p,...,2^{m-1}.p$
$S(n)=\left [ (1,2,2^2,...,2^{m-1})+(p,2p,2^{2}p,...,2^{m-1}.p) \right ]$
$S(n)=(1+2+2^2+...+2^{m-1})(1+p)(p,2p,2^{2}p,...,2^{m-1}.p)$
$S(n)=\left [  \frac{a(r^n-1)}{2-1}\right ](1+p) , r>1, a=1, r=2, n=m$
$S(n)=\left [  \frac{1(2^m-1)}{2-1}\right ](1+p)$
$S(n)=(2^m-1)(1+p)$
$S(n)=2^m+2^m.p-1-p$
$S(n)=2^m-1+2^m.p-p$
$S(n)=p+2^m.p-p$
$S(n)=2^m.p$
$S(n)=\frac{2^1}{2^1}(2^m.p)$
$S(n)=2.2^1(2^m.p)$
$S(n)=2.2^{m-1}.p$
$S(n)=2.2^{m-1}(2^m-1)$
$S(n)=2n$ Terbukti

∴ Bilangan bulat positif berbentuk $n = 2^{m-1}(2^{m}-1)$ dengan $2^{m}-1$ bilangan prima adalah bilangan sempurna.

Contoh 2:
Tunjukkan bahwa 8128 adalah bilangan sempurna
Bukti untuk m=7

✔Jawab:
$2^{m-1}(2^{m}-1) = 2^{7-1}(2^{7}-1)$
$=2^6(128-1)$
$=64(127)$
$=8128$

∴ 8128 merupakan bilangan sempurna

Contoh 3: 
Jika faktor-faktor bilangan sempurna A adalah $a_1 , a_2 , a_3 , ... , a_t $, buktikan bahwa $\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}\frac{1}{a_3}+ ... + \frac{1}{a_t}=2$

✔Jawab :
Bukti:
S(A) = 2A
$a_1 + a_2 + a_3 + ... + a_t = 2A$
$\frac{a_1}{A}+\frac{a_2}{A}+\frac{a_3}{A}+....+\frac{a_t}{A}=2$
$\frac{a_1}{a_1 . a_t}+\frac{a_2}{a_2 . a_{t-1}}+\frac{a_3}{a_3 . a_{t-2}}+...+\frac{a_{t-1}}{a_{t-1} . a_2}+\frac{a_t}{a_t . a_1}=2$
$\frac{1}{a_t}+\frac{1}{a_{t-1}}+\frac{1}{a_{t-2}}+...+\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_1}=2$
$\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_3}+...+\frac{1}{a_{t-2}}+\frac{1}{a_{t-1}}+\frac{1}{a_t}+=2$

∴ Terbukti bahwa jika faktor-faktor bilangan sempurna adalah $a_1 , a_2 , a_3 , ... , a_t$, maka $\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_3}+...+\frac{1}{a_3}=2$

Sumber : Diktat Sejarah Matematika STKIP Garut

              Buku Catatan Kuliah