 |
| PDLT1D1 (blogaritma.net) |
Suatu persamaan diferensial dikatakan linier jika tidak ada perkalian antara varibel-variabel tak bebas dan turunan-turunannya. Dengan kata lain, semua koefisiennya adalah fungsi dari variabel-variabel bebas. (Nugroho, D.B, 2011: 3)
(1) Bentuk Baku : M(x)dx + N(y)dy = 0
Untuk mencari penyelesaian umum / solusi umum (SU) dari persamaan diferensial tersebut dilakukan dengan cara mengintegralkan pada kedua ruas tersebut dan hasil akhirnya mengandung konstanta (c). Metode tersebut dinamakan metode peubah terpisah.
Contoh Soal :
Carilah solusi umum dari persamaan diferensial di bawah ini !
1. $\sin x dx + e^y dy =0$
2. $\cos 2xdx+\frac{1}{y}dy=0$
Penyelesaian:
1. $\sin x dx + e^y dy =0$ Integralkan kedua ruas
$\int \sin xdx+\int e^ydy=\int 0$
$-\cos x+e^y=c$
Jadi $-\cos x+e^y=c$ merupakan Solusi Umum (SU) dari Persamaan Diferensial (PD) tersebut.
2.$\cos 2xdx+\frac{1}{y}dy=0$ Integralkan kedua ruas
$\int \cos 2x dx +\int \frac{1}{y}dy=\int 0$
$\frac{1}{2}\sin 2x + \ln |y|=c $
Jadi $\frac{1}{2}\sin 2x + \ln |y|=c $ merupakan SU dari PD tersebut.
(2) Bentuk Baku : M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0
Contoh Soal :
Carilah solusi umum dari persamaan diferensial di bawah ini !
1. $xy^2+x^2y=0$
2. $y(1 + x) dx + x(1 ̶ y) dy = 0$
Penyelesaian:
1. $xy^2+x^2y=0$ kalikan $\frac{1}{y^2x^2}$
$\frac{xy^2}{y^2x^2}dx+\frac{x^2y}{y^2x^2}dy=0$
$\frac{1}{x}dx+\frac{1}{y}=0$ Integralkan kedua ruas
$\int \frac{1}{x}dx+\int \frac{1}{y}=\int 0$
$\ln|x|+\ln|y|=c_1$
$\ln x.y=\ln e^{c_1}$
$xy=e^{c_1}$
$xy=c_2$
$xy=c$
Jadi $xy=c$ merupakan SU dari PD tersebut.
2. $y(1 + x) dx + x(1 ̶ y) dy = 0$ kalikan $\frac{1}{yx}$
$\frac{(1+x)y}{yx}dx+\frac{x(1-y)}{yx}dy=\frac{0}{yx}$
$\frac{(1+x)}{x}dx+\frac{(1-y)}{y}dy=0$
$\left ( \frac{1}{x}+1 \right )dx+\left ( \frac{1}{y}-1 \right )dy=0$
$\frac{1}{x}dx+dx+\frac{1}{y}dy-dy=0$ Integralkan kedua ruas
$\int \frac{1}{x}dx+\int dx+\int \frac{1}{y}dy-\int dy=\int 0$
$\ln|x|+x+\ln|y|-y=c$
$\ln xy+x-y=c$
Jadi $\ln xy+x-y=c$ merupakan SU dari PD tersebut.
Latihan Soal : SOAL
Penyelesaian:
1. $\sin x dx + e^y dy =0$ Integralkan kedua ruas
$\int \sin xdx+\int e^ydy=\int 0$
$-\cos x+e^y=c$
Jadi $-\cos x+e^y=c$ merupakan Solusi Umum (SU) dari Persamaan Diferensial (PD) tersebut.
2.$\cos 2xdx+\frac{1}{y}dy=0$ Integralkan kedua ruas
$\int \cos 2x dx +\int \frac{1}{y}dy=\int 0$
$\frac{1}{2}\sin 2x + \ln |y|=c $
Jadi $\frac{1}{2}\sin 2x + \ln |y|=c $ merupakan SU dari PD tersebut.
(2) Bentuk Baku : M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0
Contoh Soal :
Carilah solusi umum dari persamaan diferensial di bawah ini !
1. $xy^2+x^2y=0$
2. $y(1 + x) dx + x(1 ̶ y) dy = 0$
Penyelesaian:
1. $xy^2+x^2y=0$ kalikan $\frac{1}{y^2x^2}$
$\frac{xy^2}{y^2x^2}dx+\frac{x^2y}{y^2x^2}dy=0$
$\frac{1}{x}dx+\frac{1}{y}=0$ Integralkan kedua ruas
$\int \frac{1}{x}dx+\int \frac{1}{y}=\int 0$
$\ln|x|+\ln|y|=c_1$
$\ln x.y=\ln e^{c_1}$
$xy=e^{c_1}$
$xy=c_2$
$xy=c$
Jadi $xy=c$ merupakan SU dari PD tersebut.
2. $y(1 + x) dx + x(1 ̶ y) dy = 0$ kalikan $\frac{1}{yx}$
$\frac{(1+x)y}{yx}dx+\frac{x(1-y)}{yx}dy=\frac{0}{yx}$
$\frac{(1+x)}{x}dx+\frac{(1-y)}{y}dy=0$
$\left ( \frac{1}{x}+1 \right )dx+\left ( \frac{1}{y}-1 \right )dy=0$
$\frac{1}{x}dx+dx+\frac{1}{y}dy-dy=0$ Integralkan kedua ruas
$\int \frac{1}{x}dx+\int dx+\int \frac{1}{y}dy-\int dy=\int 0$
$\ln|x|+x+\ln|y|-y=c$
$\ln xy+x-y=c$
Jadi $\ln xy+x-y=c$ merupakan SU dari PD tersebut.
Latihan Soal : SOAL
Sumber : Catatan Kuliah & Diktat Kuliah Persemaan Diferensial - Drs. Basuki
No comments:
Post a Comment