Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/CombDiacritMarks.js

Tuesday, April 18, 2017

Cara Mengerjakan Persamaan Diferensial Linear Tingkat 1 Derajat 1 (PDLT1D1)

 
Persamaan Diferensial
PDLT1D1 (blogaritma.net)

Suatu persamaan diferensial dikatakan linier jika tidak ada perkalian antara varibel-variabel tak bebas dan turunan-turunannya. Dengan kata lain, semua koefisiennya adalah fungsi dari variabel-variabel bebas. (Nugroho, D.B, 2011: 3)

(1) Bentuk Baku : M(x)dx + N(y)dy = 0      
    
Untuk mencari penyelesaian umum / solusi umum (SU) dari persamaan diferensial tersebut dilakukan dengan cara mengintegralkan pada kedua ruas tersebut dan hasil akhirnya mengandung konstanta (c). Metode tersebut dinamakan metode peubah terpisah.

Contoh Soal :

Carilah solusi umum dari persamaan diferensial di bawah ini !
1. \sin x dx + e^y dy =0
2. \cos 2xdx+\frac{1}{y}dy=0

Penyelesaian:
1.  \sin x dx + e^y dy =0                                 Integralkan kedua ruas
   \int \sin xdx+\int e^ydy=\int 0
   -\cos x+e^y=c

Jadi -\cos x+e^y=c merupakan Solusi Umum (SU) dari Persamaan Diferensial (PD) tersebut.

2.\cos 2xdx+\frac{1}{y}dy=0                        Integralkan kedua ruas
   \int \cos 2x dx +\int \frac{1}{y}dy=\int 0
   \frac{1}{2}\sin 2x + \ln |y|=c

Jadi \frac{1}{2}\sin 2x + \ln |y|=c   merupakan SU dari PD tersebut.

(2) Bentuk Baku : M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0

Contoh Soal :
Carilah solusi umum dari persamaan diferensial di bawah ini !
1. xy^2+x^2y=0
2. y(1 + x) dx + x(1 ̶  y) dy = 0

Penyelesaian:
1. xy^2+x^2y=0                                           kalikan \frac{1}{y^2x^2}
    \frac{xy^2}{y^2x^2}dx+\frac{x^2y}{y^2x^2}dy=0
    \frac{1}{x}dx+\frac{1}{y}=0                     Integralkan kedua ruas
    \int \frac{1}{x}dx+\int \frac{1}{y}=\int 0
    \ln|x|+\ln|y|=c_1
    \ln x.y=\ln e^{c_1}
    xy=e^{c_1}
    xy=c_2
    xy=c

Jadi xy=c merupakan SU dari PD tersebut.

2. y(1 + x) dx + x(1 ̶  y) dy = 0                     kalikan \frac{1}{yx}
   \frac{(1+x)y}{yx}dx+\frac{x(1-y)}{yx}dy=\frac{0}{yx}
   \frac{(1+x)}{x}dx+\frac{(1-y)}{y}dy=0
   \left ( \frac{1}{x}+1 \right )dx+\left ( \frac{1}{y}-1 \right )dy=0
   \frac{1}{x}dx+dx+\frac{1}{y}dy-dy=0                             Integralkan kedua ruas
   \int \frac{1}{x}dx+\int dx+\int \frac{1}{y}dy-\int dy=\int 0
   \ln|x|+x+\ln|y|-y=c
   \ln xy+x-y=c


Jadi \ln xy+x-y=c  merupakan SU dari PD tersebut.


Latihan Soal : SOAL






Sumber : Catatan Kuliah & Diktat Kuliah Persemaan Diferensial - Drs. Basuki









Artikel Terkait

No comments:

Post a Comment