![]() |
PDLT1D1 (blogaritma.net) |
Suatu persamaan diferensial dikatakan linier jika tidak ada perkalian antara varibel-variabel tak bebas dan turunan-turunannya. Dengan kata lain, semua koefisiennya adalah fungsi dari variabel-variabel bebas. (Nugroho, D.B, 2011: 3)
(1) Bentuk Baku : M(x)dx + N(y)dy = 0
Untuk mencari penyelesaian umum / solusi umum (SU) dari persamaan diferensial tersebut dilakukan dengan cara mengintegralkan pada kedua ruas tersebut dan hasil akhirnya mengandung konstanta (c). Metode tersebut dinamakan metode peubah terpisah.
Contoh Soal :
Carilah solusi umum dari persamaan diferensial di bawah ini !
1. \sin x dx + e^y dy =0
2. \cos 2xdx+\frac{1}{y}dy=0
Penyelesaian:
1. \sin x dx + e^y dy =0 Integralkan kedua ruas
\int \sin xdx+\int e^ydy=\int 0
-\cos x+e^y=c
Jadi -\cos x+e^y=c merupakan Solusi Umum (SU) dari Persamaan Diferensial (PD) tersebut.
2.\cos 2xdx+\frac{1}{y}dy=0 Integralkan kedua ruas
\int \cos 2x dx +\int \frac{1}{y}dy=\int 0
\frac{1}{2}\sin 2x + \ln |y|=c
Jadi \frac{1}{2}\sin 2x + \ln |y|=c merupakan SU dari PD tersebut.
(2) Bentuk Baku : M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0
Contoh Soal :
Carilah solusi umum dari persamaan diferensial di bawah ini !
1. xy^2+x^2y=0
2. y(1 + x) dx + x(1 ̶ y) dy = 0
Penyelesaian:
1. xy^2+x^2y=0 kalikan \frac{1}{y^2x^2}
\frac{xy^2}{y^2x^2}dx+\frac{x^2y}{y^2x^2}dy=0
\frac{1}{x}dx+\frac{1}{y}=0 Integralkan kedua ruas
\int \frac{1}{x}dx+\int \frac{1}{y}=\int 0
\ln|x|+\ln|y|=c_1
\ln x.y=\ln e^{c_1}
xy=e^{c_1}
xy=c_2
xy=c
Jadi xy=c merupakan SU dari PD tersebut.
2. y(1 + x) dx + x(1 ̶ y) dy = 0 kalikan \frac{1}{yx}
\frac{(1+x)y}{yx}dx+\frac{x(1-y)}{yx}dy=\frac{0}{yx}
\frac{(1+x)}{x}dx+\frac{(1-y)}{y}dy=0
\left ( \frac{1}{x}+1 \right )dx+\left ( \frac{1}{y}-1 \right )dy=0
\frac{1}{x}dx+dx+\frac{1}{y}dy-dy=0 Integralkan kedua ruas
\int \frac{1}{x}dx+\int dx+\int \frac{1}{y}dy-\int dy=\int 0
\ln|x|+x+\ln|y|-y=c
\ln xy+x-y=c
Jadi \ln xy+x-y=c merupakan SU dari PD tersebut.
Latihan Soal : SOAL
Penyelesaian:
1. \sin x dx + e^y dy =0 Integralkan kedua ruas
\int \sin xdx+\int e^ydy=\int 0
-\cos x+e^y=c
Jadi -\cos x+e^y=c merupakan Solusi Umum (SU) dari Persamaan Diferensial (PD) tersebut.
2.\cos 2xdx+\frac{1}{y}dy=0 Integralkan kedua ruas
\int \cos 2x dx +\int \frac{1}{y}dy=\int 0
\frac{1}{2}\sin 2x + \ln |y|=c
Jadi \frac{1}{2}\sin 2x + \ln |y|=c merupakan SU dari PD tersebut.
(2) Bentuk Baku : M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0
Contoh Soal :
Carilah solusi umum dari persamaan diferensial di bawah ini !
1. xy^2+x^2y=0
2. y(1 + x) dx + x(1 ̶ y) dy = 0
Penyelesaian:
1. xy^2+x^2y=0 kalikan \frac{1}{y^2x^2}
\frac{xy^2}{y^2x^2}dx+\frac{x^2y}{y^2x^2}dy=0
\frac{1}{x}dx+\frac{1}{y}=0 Integralkan kedua ruas
\int \frac{1}{x}dx+\int \frac{1}{y}=\int 0
\ln|x|+\ln|y|=c_1
\ln x.y=\ln e^{c_1}
xy=e^{c_1}
xy=c_2
xy=c
Jadi xy=c merupakan SU dari PD tersebut.
2. y(1 + x) dx + x(1 ̶ y) dy = 0 kalikan \frac{1}{yx}
\frac{(1+x)y}{yx}dx+\frac{x(1-y)}{yx}dy=\frac{0}{yx}
\frac{(1+x)}{x}dx+\frac{(1-y)}{y}dy=0
\left ( \frac{1}{x}+1 \right )dx+\left ( \frac{1}{y}-1 \right )dy=0
\frac{1}{x}dx+dx+\frac{1}{y}dy-dy=0 Integralkan kedua ruas
\int \frac{1}{x}dx+\int dx+\int \frac{1}{y}dy-\int dy=\int 0
\ln|x|+x+\ln|y|-y=c
\ln xy+x-y=c
Jadi \ln xy+x-y=c merupakan SU dari PD tersebut.
Latihan Soal : SOAL
Sumber : Catatan Kuliah & Diktat Kuliah Persemaan Diferensial - Drs. Basuki
No comments:
Post a Comment