Cara Mengerjakan Persamaan Diferensial Homogen (PDH)

PDH - Blogaritma

Bentuk Baku PDH : $M_{x,y}dx+N_{x,y}dy=0$

Untuk mencari Solusi Umum (SU) dari PDH tersebut di atas yaitu degan cara memisahkan variabel baru yaitu $z=\frac{y}{x}\rightarrow y = xz \rightarrow dy = x dz + z dx$ sehingga PDH berubah variabel yang tadinya (x,y) menjadi (x,z). Selanjutnya selesaikan secara integral dan hasil akhir veriabel z diganti lagi oleh $\frac{y}{x}$ sehingga didapat SU dengan variabel (x,y,c) = 0.

Contoh 1 :
Carilah SU dari persamaan dierensial $(x+2y)dx+(3x+4y)dy=0$.

Jawab :
Karena persamaan diferensial $(x+2y)dx+(3x+4y)dy=0$ berbentuk : $M_{x,y}dx+N_{x,y}dy=0$, maka persamaan diferensial tersebut merupakan PDH.

Penyelesaian :
$(x+2y)dx+(3x+4y)dy=0$
Misal : $z=\frac{y}{x}\rightarrow y=xz \rightarrow dy=z dx + x dz$
Persamaan diferensial homogen di atas menjadi:
$(x+2xz)dx+(3x+4xz)(zdx+xdz)=0$
$(x+2xz+3xz+4xz^2)dx+(3x^2+4x^{2}z)dz=0$
$(x+5xz+4xz^2)dx+(3x^2+4x^2z)dz=0$
$(4z^2+5z+1)x dx+(4z+3)x^2dz=0$   kalikan $\frac{1}{(4z^2+5z+1)x^2}$
$\frac{1}{x}dx+\frac{4z+3}{4z^2+5z+1}dz=0$                 Integralkan kedua ruas
$\int \frac{1}{x}dx+\int \frac{4z+3}{4z^2+5z+1}dz=\int 0$ #

Catatan: berlaku untuk penyebut yang bisa difaktorkan

$\int \frac{4z+3}{4z^2+5z+1}=?$
Misalkan A,B sehingga
$\frac{4z+3}{4z^2+5z+1}=\frac{4z+3}{(4z+1)(z+1)}=\frac{A}{(4z+1)}+\frac{B}{(z+1)}$
$\frac{A}{(4z+1)}+\frac{B}{(z+1)}=\frac{A(z+1)+B(4z+1)}{(4z+1)(z+1)}$
$=\frac{Az+A+4Bz+B}{4z^2+5z+1}$
$=\frac{(A+4B)z+A+B}{4z^2+5z+1}$
$=\frac{4z+3}{4z^2+5z+1}$
Eliminasi:
A + 4B = 4
A + B   = 3
___________-
3B = 1

$B=\frac{1}{3},A={8}{3}$

Kembali #
$\int \frac{1}{x} dx+\int \frac{\frac{8}{3}}{4z+1}dz+\int \frac{\frac{1}{3}}{z+1}dz=\int 0$
$\int \frac{1}{x} dx+\frac{8}{3}\int \frac{\frac{1}{4}(4z+1)}{4z+1}+\frac{1}{3}\int {d(z+1)}{z+1}dz=\int 0$
$\ln |x|+\frac{2}{3}\ln|4z+1|+\frac{1}{3}\ln|z+1|=C_{1}$    Kalikan 3
$3\ln|x|+2\ln|4z+1|+\ln|z+1|=3C_{2}$
$\ln x^3(4z+1)(z+1)=\ln e^{C_{2}}$
$\ln x^3(4z+1)^2(z+1)=e^{C_{2}}=C_{3}$        Substitusi $z=\frac{y}{x}$
$x^3(4\frac{y}{x}+1)^2(\frac{y}{x}+1)=C_{3}$
$x^3(\frac{4y+x}{x})^2(\frac{y+x}{x})=C_{3}$
$(4y+x)^2(y+x)=C$

Jadi, $(4y+x)^2(y+x)=C$ merupakan Solusi Umum dari PDH tersebut.

Baca juga materi sebelumnya Cara Mengerjakan Persamaan Diferensial Linear Tingkat 1 Derajat 1 (PDLT1D1)


Sumber : Catatan Kuliah & Diktat Kuliah Persemaan Diferensial - Drs. Basuki