Cara Mengerjakan Persamaan Diferensial Eksak (PDE)

PDE - Blogaritma

Persamaan diferensial eksak yaitu persamaan diferensial dengan bentuk baku

$M(x,y)dx+N(x,y)dy=0$

Disebut persamaan diferensial eksak atau kita singkat PD EKSAK (PDE) jika dan hanya jika berlaku:

$\frac{\partial M}{\partial Y}=\frac{\partial N}{\partial X}$

Seringkali persamaan di atas akan terlihat eksak setelah mengelompokkan suku-sukunya. Persamaan dalam mengelompokkan kembali ini selanjutnya diintegralkan suku demi suku.

Baca juga : Cara Mengerjakan Persamaan Diferensial Berbentuk (ax + by + c)dx + (px + qy + r)dy = 0


Misalkan fungsi M, N, $M_{y}$, $N_{x}$ kontinu pada daerah D, maka persamaan diferensial $M(x,y)dx+N(x,y)dy=0$,$(x,y)\in D$ disebut eksak jika dan hanya jika $M_{y}=M_{x}$.

Jika $M(x,y)dx+N(x,y)dy=0$ persamaan diferensial tidak eksak $M_{y}\neq M_{x}$, kita dapat mencari fungsi $u(x,y)$ sehingga $UM dx + UN dy =0$ menjadi PD eksak, yaitu:

$(uM)_{y}=(uN)_{x}$ fungsi $u(x,y)$ disebut faktor pengintegralan

1. Jika $\frac{1}{N}(M_{y}-N_{X})$ fungsi dari x saja, maka fungsi u(x) selalu dapat dicari, yaitu : $u(x)=e^{\int \frac{1}{N}(M_{y}-N_{x})} dx$
2. Jika  $\frac{1}{M}(M_{y}-N_{X})$ fungsi dari y saja, maka fungsi u(y) selalu dapat dicari, yaitu : $u(y)=e^{-\int \frac{1}{N}(M_{y}-N_{x})} dy$

 Faktor pengintegralan suatu persamaan diferensial tak eksak adalah tidak tunggal, tetapi banyak.

Contoh:
Selidiki persamaan berikut ini, mana yang merupakan Persamaan Diferensial EKSAK (PDE) dan mana yang bukan merupakan (PDE)!

1. $(x^2-y)dx+(y^2-x)dy=0$
2. $2x^3+3y)dx+(3x+y-1)dy=0$
3. $e^y dx+ (xe^y +2y)dy=0$
4. $(\cos y+y\cos x)dx+(\sin x-\sin y)dy=0$
5. $(x^2+y^2+x)dx+xydy=0$

Jawab:
1. $(x^2-y)dx+(y^2-x)dy=0$
$M(x,y)=x^2-y\rightarrow \frac{\partial M}{\partial Y}=-1$
$N(x,y)=y^2-x\rightarrow \frac{\partial N}{\partial X}=-1$
Karena $\frac{\partial M}{\partial Y}= \frac{\partial N}{\partial X}$ , maka persamaan diferensial di atas merupakan PDE

Selebihnya coba sendiri yaa!!

A. Mencari SU dari PDE yang berbentuk $M(x,y)dx+N(x,y)dy=0$
Yaitu :
Dengan cara memisalkan $SU:F(x,y)=c$
Dimana $F(x,y)=\int M(x,y)dx + h(y)$
Dan $\frac{\partial F}{\partial Y}=\frac{\partial}{\partial y} \left \{ \int M(x,y)dx \right \}+h'(y)=N(x,y)$

Contoh:
Selidiki PD di bawah ini PDE atau bukan, jika PDE, carilah solusi umumnya
1. $(\cos y + y \cos x)dx+(\sin x-x \sin y)dy=0$
2. $(y^2 e^{xy2} + 4x^3)dx + xye^{xy2}-3y^2)dy=0$
3. $2x \sin 3y dx +(3x^2 \cos 3y+2y)dy=0$


Penyelesaian:
1. $(\cos y + y \cos x)dx+(\sin x-x \sin y)dy=0$

Jawab:
$M(x,y)=\cos y+y\cos x \rightarrow \frac{\partial M}{\partial Y}=-\sin y+(1)\cos x$
$N(x,y)=\sin x-x\sin y \rightarrow \frac{\partial N}{\partial x}=\cos x - (1)\sin y$

Karena $\frac{\partial M}{\partial Y}=\frac{\partial N}{\partial X}\rightarrow$ PD tersebut merupakan PDE

Untuk mencari SU dari PDE di atas, misalkan SU sebagai berikut:
$F(x,y)=c$ dimana:
$F(x,y)=\int M(x,y)dx+h(y)$
$F(x,y)=\int (\cos y+y\cos x)dx+h(y)$
$F(x,y)=x\cos y+y(\sin x)+h(y)$                         dengan
$\frac{\partial F}{\partial Y}=\frac{\partial}{\partial y}\left \{x\cos y+y\sin x  \right \}+h'(y)=N(x,y)$
$x(-\sin y)+(1)\sin x + h'(y)=\sin x -x\sin y$
$h'(y)=0$
$h(y)=\int 0 dy=c_{1}$
SU: $F(x,y)=x\cos y+y\sin x + c_{1}=c_{2}$

Jadi, $F(x,y)=x\cos y+y\sin x=c$ merupakan SU dari PDE tersebut.

Nomor lainnya bisa dicoba sendiri!

Soal Latihan:
1.$(3x^2-2y+e^{x+y})dx+(e^{x+y}-2x+4)dy=0$
2.$2xydx+x^2dy=0$
3.$(x^2+\ln y)dx+\frac{x}{y}dy=0$
4.$(1+y^2)dx+(x^2y+y)dy=0$
5.$(x+y)dx+xdy=0$
6.$(3x^2+4xy^2)dx+(2y-3y^2+4x^2y)dy=0$
7.$xy'+y+4=0$
8.$2x\sin 3y dx+(3x^2\cos 3y+2y)dy=0$
 

Baca juga materi sebelumnya Cara Mengerjakan Persamaan Diferensial Linear Tingkat 1 Derajat 1 (PDLT1D1)


Sumber : Catatan Kuliah & Diktat Kuliah Persemaan Diferensial - Drs. Basuki