Cara Mengerjakan Aksioma pada Ruang Vektor

Gambar 1

DEFINISI

    Misalkan V sebarang himpunan benda yang dua operasinya kita definisikan, yakni penambahan dan perkalian dengan scalar (bilangan riil). Penambahan tersebut kita pahami untuk mengasosiasikan sebuah aturan dengan setiap pasang benda u dan v dalam V, yang mendukung elemen u+v, yang kita namakan jumlah u dan v ; dengan perkalian skalar kita artikan aturan untuk mengasosiasikannya baik untuk setiap skalar k maupun setiap benda u pada V yang mengandung elemen ku, yang dinamakan perkalian skalar (scalar multiple) u oleh k. jika aksioma-aksioma berikut dipenuhi oleh semua benda u,v,w pada V dan oleh semua skalar k dan l, maka kita namakan V sebuah ruang vector (vector space) dan benda-benda pada kita namakan vektor:

Aksioma 1     : u+v ϵ V
Aksioma 2    : u+v = v+u
Aksioma 3    : u+(v+w)=(u+v)+w
Aksioma 4    : ∃ 0 ϵ V,∀ u ϵ V Sedemikian sehingga : u + 0 = 0 + u = u
Aksioma 5    : ∀ u ϵ V,∃(-u)ϵ V Sedemikian sehingga : u + (-u) = (-u) + u = 0
Aksioma 6    : ku ϵ V
Aksioma 7    : k(u + v) = ku + kv
Aksioma 8    : (k + l)u = ku + kl
Aksioma 9    : k(lu) = (kl)u
Aksioma 10    : 1.u = u

Atau secara ringkasnya

Definisi:
V ≠ ∅, didalam V didefinisikan dua operasi, yaitu:
u+v, ∀ u, v ϵ V
Ku , k ϵ R
Jika u,v,w ϵ V dan k,l memenuhi 10 aksioma tersebut, maka V disebut “ Ruang Vektor” dan anggota V disebut “ Vektor”



Misalkan

 Contoh:
1. V= { (x,y) │x > 0 dan y > 0, x,y ϵ R}

Didefinisikan dengan operasi:

(x,y) + ( x',y' ) = ( x. x' ,y. y'  )
           k( x,y ) = ( x^k,y^k )

Penyelesaian :

• Aksioma 1 : u + v ϵ V

Misal    : u,v ϵ V, dimana :
u = ( x₁,y₁ ) ,   x₁ < 0 dan y₁ < 0
v = ( x_2,y₂ ) ,   x₂ < 0 dan y₂ < 0
w = ( x₃,y₃ ),   x₃ < 0 dan y₃ < 0 

Maka
u + v     =  ( x₁,y₁ ) + ( x₂,y₂ )
             =  (x₁. x₂ , y₁ . y₂ ) ϵ V

Karena
x₁ > 0 dan x₂  > 0 maka x₁. x₂ > 0
y₁ > 0 dan  y₂ > 0 maka y₁ . y₂ > 0

Jadi, memenuhi Aksioma 1

• Aksioma 2 : u + v = v + u

Membuktikan ruas kiri
u + v    = ( x₁,y₁ ) + ( x₂,y₂ )
            = ( x₁. x₂ , y₁ . y₂ )
            = ( x₂ . x₁ , y_{2 .}  y₁  ) sifat komutatif
            = ( x₂,y₂) + (x₁,y₁)
            = v + u

Jadi, terbukti u + v = v + u , maka memenuhi Aksioma ke 2

• Aksioma 3 : u+(v+w) = (u+v)+w

Membuktian ruas kiri:
u+(v+w)    = ( x₁,y₁ ) + [(x₂,y₂) + (x₃,y₃ )]
                  = ( x₁,y₁ ) + (x₂ . x3, y₂. y₃)
                  = [x₁ (x₂ . x3) , y₁(y₂. y₃)]
                  = (x₁. x₂ , y₁ . y₂ ) + (x₃,y₃ )
                  = [( x₁,y₁ ) + (x₂,y₂)] + (x₃,y₃ )
                  = (u+v)+w

Jadi,terbukti  u+(v+w) = (u+v)+w , maka memenuhi Aksioma 3

• Aksioma 4 : ∃ 0 ϵ V,∀ u ϵ V Sedemikian sehingga : u + 0 = 0 + u = u

   Misal: ∃ 0 = ( p,q ), ∀ u ϵ V

   Ambil 0 + u = u
    ( p,q ) + ( x₁,y₁ ) = ( x₁,y₁ )
            ( px₁ , qy1 ) = ( x₁,y₁ )

Maka :     px₁ = x₁ --> p = x₁ : x₁ = 1
                qy₁ = y₁ --> q = y₁ : y₁ = 1

Maka, ∃ 0 = ( p,q ) = ( 1,1 ) ϵ V

Jadi, memenuhi Aksioma 4


• Aksioma 5 : ∀ u ϵ V,∃ (-u)ϵ V Sedemikian sehingga u + (-u) = (-u) + u = 0

Misal    : ∀ u ϵ V,∃ (-u) = (a,b)
Dari      : u + (-u)    = 0
    ( x₁,y₁ ) + ( a,b ) = ( 1,1 )
    ( ax₁ , by₁ )         = ( 1,1 )

Maka     : ax₁ = 1 --> a = 1 / x₁
                by₁ = 1 --> b = 1/ y₁
Jadi, ∃ (-u) = ( a,b ) = (1 / x₁, 1/ y₁ ) ϵ V

Memenuhi Aksioma 5

• Aksioma 6 : ku ϵ V

  ku             ϵ V
  k (x₁,y₁)   ϵ V
  ( x₁^k,y₁^k ) ϵ V

Karena  x₁^k > 0 maka dibuktikan untuk : k < 0, k = 0, dan k > 0
Misal :
Untuk k = 0 maka x₁^k = x₁⁰ = 1
                              y₁^k = y₁⁰ = 1
Untuk k > 0 maka x₁^k > 0 dan y₁^k >0  ( baik pangkat k nya itu genap atau ganjil maka tetap hasilnya positif atau > 0)

Untuk k < 0, misal k = -n, n > 0 maka
x₁^k = x₁^-n    = 1/ x₁ⁿ > 0
y₁^k  = y₁^-n    = 1/ y₁ⁿ > 0
( sifat eksponen )

Maka ( x₁^k,y₁^k ) ϵ V

Memenuhi Aksioma 6

• Aksioma 7 : k(u + v) = ku + kv

Pembuktian ruas kiri
k(u+v)     = k [( x₁,y₁ ) + (x₂,y₂)]
                = k (x₁. x₂ , y₁. y₂)
                = [(x₁. x₂)^k , (y₁.  y₂)^k]
                = ( x₁^k. x₂^k , y₁^k. y₂^k)
                = ( x₁^k. y₁^k) + ( x₂^k. y₂^k)
                = k (x₁,y₁) + k (x₂,y₂)
                = ku + kv

Memenuhi Aksioma 7

• Aksioma 8 : (k + l)u = ku + kl

Pembuktian ruas kiri
(k + l)u = (k + l) (x₁,y₁)
             = x₁^(k+l) , y₁^(k+l)
             = (x₁^k. x₁^l , y₁^k . y₁^l)
             = (x₁^k, y₁^k ) + (x₁^l, y₁^l)
             = k (x₁,y₁) + l (x₁,y₁)
             = ku + lu

Memenuhi Aksioma 8

• Aksioma 9 : k(lu) = (kl)u

Pembuktian ruas kiri
k(lu)    = k[l (x₁,y₁)]
            = k (x₁^l, y₁^l)
            = (x₁^l )^k , (y₁^l)^k
            = x₁^lk , y₁^lk
            = kl (x₁,y₁)
            = (kl)u

Memenuhi Aksioma 9

• Aksioma 10 : 1.u = u

Pembuktian ruas kiri
1.u    = 1(x₁,y₁)
         = x₁¹ , y₁¹
         = (x₁,y₁)
         = u

Memenuhi Aksioma 10