Integral dan Aplikasinya dalam Kehidupan Sehari-hari

 

Integral (conservapedia.com)

 •    Integral

Integral adalah kebalikan (invers) dari pendiferensialan. jika F(x) adalah fungsi umum yang bersifat

F'(x) = f(x) 

maka F(x) merupakan himpunan anti turunan atau himpunan pengintegralan F'(x) = f(x). Himpunan anti turunan fungsi f(x) dinotasikan dengan

∫ f(x)dx 

dibaca integral f(x) terhadap x, dan disebut integral tak tentu f(x).

Integral tak tentu f(x) adalah suatu fungsi umum yang ditentukan melalui hubungan 

∫ f(x)dx = F(x) + C

dengan
f(x) dinamakan integran
F(x) dinamakan fungsi integral umum
c dinamakan konstanta pengintegralan

 •    Kegunaan dan aplikasi Integral dalam kehidupan sehari-hari

→ Aplikasi Integral
      Integral dapat diaplikasikan ke dalam banyak hal. Dari yang sederhana, hingga aplikasi perhitungan yang sangat kompleks. Kegunaan integral dalam kehidupan sehari-hari banyak sekali, diantaranya menentukan luas suatu bidang, menentukan volume benda putar, menentukan panjang busur dan sebagainya. Integral tidak hanya dipergunakan di matematika saja. Banyak bidang lain yang menggunakan integral, seperti ekonomi, fisika, biologi, teknik dan masih banyak lagi disiplin ilmu yang lain yang mempergunakannya.
      Berikut merupakan aplikasi-aplikasi integral yang telah dikelompokkan dalam beberapa kelompok perhitungan. Penjelasan lebih lanjut dapat dilihat pada keterangan yang diberikan.

Pada bidang Teknik

Pada bidang Tekhnik penggunaan turunan dapat membantu programer dalam pembuatan aplikasi dari mesin – mesin yang handal.
Contohnya : Para Enginer dalam membuat / mendisain mesin – mesin pesawat terbang.

Pada bidang Matematika
Turunan digunakan untuk pencarian dalam limit, yang bentuk soal limitnya harus di faktorkan atau di kalikan terlebih dahulu dengan akar sekawan. Selain itu , Aplikasi turunan juga digunakan untuk menentukan persamaan garis singgung.
Contoh penggunaan Turunan untuk menentukan Garis singgung :
Tentukan persamaan garis singgung dari y = x³ - 2x² - 5 pada titik (3,2).
Jawab :

Y=f(x)= x³-2x²-5

Y=f(x)=3x²-4x f ’(3) = 3(3)² - 4(3) = 15 ; m = 15.

Rumus pers. Garis singgung :

y-y_o = m (x-x_o) 
maka garis singgung fungsi diatas adalah :
Y – 2 = 15 (x – 3) atau y = 15x – 43

Pada bidang Ekonomi
Penerapan Turunan parsial dalam bidang ekonomi antara lain digunakan untuk menghitung fungsi produksi, konsep elastisitas, angka pengganda, optimisasi tanpa kendala, dan optimisasi dengan kendala (fungsi lagrange).
Pada bidang ekonomi fungsi turunan dipakai untuk mencari biaya marjinal, yaitu dengan cara menurunkannya dari persamaan biaya total. Bisa ditulis biaya marjinal = biaya total’. Para matematikawan mengenal biaya marjinal  sebagai dc/dx, turunan C terhadap x. dengan demikian dapat didefinisikan harga marjinal sebagai dp/dx, pendapatan marjinal sebagai dR/dX, dan keuntungan marjinal sebagai dp/dx.
Berikut contoh soal :
Sebuah perusahaan mempunyai biaya 3200 + 3,25x – 0,0003x²  dengan jumlah persatuan x=1000. tentukan biaya rata-rata dan biaya marjinal?
Penyelasaian
biaya rata-rata = C(x)/x

= 3200+3,25x-0,0003x² / X

= 3200+3,25 (1000)-0,0003(1000)² / 1000

= 6150 / 1000 = 6,15
Maka biaya rata-rata persatuan yaitu 6,15 x 1000 = Rp.6150
biaya marjinal = dc/dx
= 3,25-0,0006x
= 3,25-0.0006 (1000)
= 2,65
maka biaya marjinalnya, 2,65 x 1000 = Rp.2650 Pada x=1000

        Dari hasil di atas, dapat dikatakan bahwa dibutuhkan Rp.6150 untuk memproduksi 1000 barang pertama dan membutuhkan Rp. 2,65 untuk membuat 1 barang  setelah barang yang ke 1000, hanya dibutuhkan Rp. 2650 untuk membuat 1000 barang yang sama.

Pada bidang Fisika
      Besaran Turunan adalah besaran yang terbentuk dari satu atau lebih besaran pokok yang ada. Besaran adalah segala sesuatu yang memiliki nilai dan dapat dinyatakan dengan angka.  Misalnya adalah luas yang merupakan hasil turunan satuan panjang dengan satuan meter persegi atau m pangkat 2 (m^2). Luas didapat dari mengalikan panjang dengan panjang.
        Berikut ini adalah berbagai contoh besaran turunan sesuai dengan sistem internasional / SI yang diturunkan dari sistem MKS (meter - kilogram - sekon/second) :

- Besaran turunan energi satuannya joule dengan lambang J
- Besaran turunan gaya satuannya newton dengan lambang N
- Besaran turunan daya satuannya watt dengan lambang W
- Besaran turunan tekanan satuannya pascal dengan lambang Pa
- Besaran turunan frekuensi satuannya Hertz dengan lambang Hz
- Besaran turunan muatan listrik satuannya coulomb dengan lambang C
- Besaran turunan beda potensial satuannya volt dengan lambang V
- Besaran turunan hambatan listrik satuannya ohm dengan lambang ohm
- Besaran turunan kapasitas kapasitor satuannya farad dengan lambang F
- Besaran turunan fluks magnet satuannya tesla dengan lambang T
- Besaran turunan induktansi satuannya henry dengan lambang H
- Besaran turunan fluks cahaya satuannya lumen dengan lambang ln
- Besaran turunan kuat penerangan satuannya lux dengan lambang lx

Pada bidang Ekonomi
        Operasi hitung integral dapat diterapkan dalam persoalan ekonomi, misalnya dalam integral tak tentu digunakan menghitung fungsi total, dan dalam integral tertentu digunakan untuk menghitung surplus konsumen dan surplus produsen.
      Jika diketahui fungsi demand dan supply suatu barang, operasi hitung integral dapat dipakai untuk menghitung surplus konsumen dan surplus produsen pada saat market equilibriumatau pada tingkat harga tertentu.

1.    Surplus Konsumen
      Konsumen yang mampu atau bersedia membeli barang lebih tinggi (mahal) dari harga equilibrium P0 akan memperoleh kelebihan (surplus) untuk tiap unit barang yang dibeli dengan harga P0. Pada saat equilibrium, jumlah total pengeluaran (total expenditure) konsumen = P0.X0 yang dalam gambar ini adalah luas empat persegi panjang 0ABC, sedangkan konsumen yang tadinya bersedia membeli barang ini lebih tinggi dari harga P0 akan menyediakan uang yang banyaknya = luas daerah yang dibatasi kurva demand yang sumbu tegak P, sumbu mendatar X, dan garis ordinat x = x0 (yakni = luas daerah 0ABF).
 Karena itu, besarnya surplus konsumen yakni selisih antara jumlah uang yang disediakan dikurangi dengan jumlah pengeluaran nyata konsumen sehingga surplus konsumen dapat dinyatakan sebagai berikut:

SK = Luas 0ABF – Luas 0ABC = Luas daerah CBF =oʃxof(x).dx – P0.X0

Jika dari fungsi demand p = f(x) maka hasil dari 0ʃaf(x).dx adalah jumlah uang yang disediakan.

2.    Surplus Produsen
        Surplus produsen adalah selisih antara hasil penjualan barang dengan jumlah penerimaan yang direncanakan produsen dalam penjualan sejumlah barang. Pada saat harga terjadi price equilibrium P0 maka penjual barang yang bersedia menjual barang ini dibawah harga po akan memperoleh kelebihan harga jual untuk tiap unit barang yang terjual yakni selisih antara po dengan harga kurang dari po.
      Sedangkan, pada saat equilibrium, penjual barang ini akan menerima hasil penjualan barang sejumlah P0 . X0 yang dalam gambar adalah luas empat persegi panjang 0ABC, sedangkan sebenarnya penjual barang ini bersedia menerima sejumlah uang yang banyaknya = luas daerah yang dibatasi kurva supply dengan sumbu P, sumbu X dan garis ordinat x = xo (yakni luas daerah 0ABE), maka penjual barang ini akan memperoleh surplus produsen (penjual) sebanyak berikut ini:

SP = Luas 0ABC – Luas daerah 0ABE = P0.X0 -oʃxcg(x).dx

Pada bidang Teknologi
-    Penggunaan laju tetesan minyak dari tangki untuk menentukan jumlah kebocoran selama selang waktu tertentu.
-    Penggunaan kecepatan pesawat ulang alik Endeavour untuk menentukan ketinggian maksimum yang dicapai pada waktu tertentu.
-    Memecahkan persoaalan yang berkaitan dengan volume, paanjang kurva, perkiraan populasi, keluaran kardiak, gaya pada bendungan, usaha, surplus konsumen.

Pada bidang Kedokteran

       Dosimetri adalah suatu ilmu cabang dari radioterapi (maaf listening saya buruk), intinya dosimetri itu pakai high energy inonizing radiation, salah satunya sinar-X (berarti kerjaannya jadi tukang rontgen, lebih tepatnya analisis hasil rontgen, berarti pembahasannyatentang penyakit dalam).
       Kalkulus berperan pada saat penentuan lokasi koordinat penembakan laser. Pada kalkulus integral di bahas volume benda putar dengan metode cakram, cincin dll (dengan ini kita dapat mengukur volume tumor, kalau pasca penembakan laser volume menurun, maka operasi berhasil). Aplikasi kalkulus yang kedua adalah mengkur fungsi pergerakan kulit tumor setiap waktu, tujuannya, agar setelah tumor hilang, laser tidak ditembakkan lagi (takut merusak organ). Sekedar catatan,  ada juga sember lain yang menganggap tumor adalah sistem fluida, jadi hukum-hukum fluida juga penting untuk ilmu dosimetri.

Sumber:
https://www.academia.edu/8714866/Aplikasi_Integral_dalam_Kehidupan
https://hannapratiwiarkham.wordpress.com/2012/12/01/aplikasi-matematika-dalam-bidang-kedokteran/