Basis dan Pembahasan

Basis (blogaritma.net)

Definisi:

Jika V adalah sebarang ruang vektor dan $S={v_1,v_2,...,v_r}$ merupakan himpunan berhingga dari vektor-vektor pada V, maka S kita namakan basis untuk V jika

1.    S bebas Linear
2.    S merentang V


Contoh :

1. Tentukan apakah himpunan berikut merupakan basis untuk R³!

S = {v₁ , v₂ , v₃}

v₁ = (1,1,2)
v₂ = (2,0,1)
v₃ = (-1,1,1)

Jawab:
Menurut definisi bahwa kita bisa menentukan basis jika memenuhi 2 syarat berikut, yaitu S bebas linear dan S merentang V. Pertama kita perlihatkan apakah S bebas linear atau tak bebas linear.


i) S bebas linear?


k₁(1,1,2) + k₂(2,0,1) + k₃(-1,1,1) = (0,0,0)
(k₁ + 2k₂ - k₃ ,k₁ + k₃ ,2k₁ + k₂ + k₃ ) = (0,0,0)

didapat SPL

k₁ + 2k₂ - k₃ = 0
k₁ +          k₃ = 0
2k₁ + k₂ + k₃ = 0

dibentuk matriks

$\begin{bmatrix}1 &2  &-1 \\ 1 &0  &1 \\ 2 &1  &1 \end{bmatrix}$

Determinannya
$\begin{vmatrix}1 &2  &-1 \\ 1 &0  &1 \\ 2 &1  &1 \end{vmatrix}\begin{matrix}1 &2 \\ 1 &0 \\ 2 &1 \end{matrix}= 1.0.1 +2.1.2+(-1).1.1 - (-1).0.2 - 1.1.1 - 2.1.1$
= 0 + 4 -1 - 0 -1 - 2 = 0

Menentukan Determinan Cara Sarrus

Selanjutnya kita cari nilai dari k₁ ,k₂ ,k₃ dengan menggunakan aturan Cramer caranya dengan merubah SPL tersebut menjadi bentuk matriks seperti berikut

Karena determinan dari matriks tersebut adalah 0, maka nilai dari  $k_1=\frac{0}{0}, k_2= \frac{0}{0}, k_3=\frac{0}{0}$

Jadi, Karena  k₁ = k₂ = k₃ banyak jawab atau ada penyelesaian selain k₁ = k₂ = k₃ = 0. maka S tak bebas linear
Karena basis harus memenuhi kedua syarat di atas, sedangkan kita tahu bahwa S tak bebas linear, maka S bukan basis untuk  R3 

Baca Juga : Perubahan Basis dan Pembahasan 
                     Basis Ortonormal - Proses Gram Schmidt