Cara Menentukan Determinan dengan Menggunakan Reduksi Baris

Reduksi baris merupakan salah satu cara untuk mengetahui determinan suatu matriks yang tidak memerhatikan seberapa besar ukuran matriks tersebut. Metode ini penting untuk menghindari perhitungan panjang yang terlibat dalam penerapan definisi determinan secara langsung.

Teorema 1
Jika A adalah sebarang matriks kuadrat yang mengandung sebaris bilangan nol, maka det(A) = 0

Bukti:
Karena hasil kali elementer bertanda dari A mengandung satu faktor dari setiap baris A, maka tiap-tiap hasil kali elementer bertanda mengandung faktor dari baris bilangan nol dan sebagai konsekuensinya juga akan mempunyai nilai nol. arena det(A) adalah jumlah semua hasil kali elementer bertanda, maka kita dapatkan det(A) = 0.

Contoh:
Hitunglah det(A), dimana

$\begin{bmatrix}
a_{11} & 0 & 0 & 0\\
a_{21} & a_{22}  & 0 & 0\\
a_{31} & a_{32} & a_{33} & 0\\
a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44}
\end{bmatrix}$

det(A) = $a_{11}a_{22}a_{33}a_{44}$

Teorema 2
Jika A adalah matriks segitiga n x n, maka det(A) adalah hasil kali enteri-enteri pada diagonal utama yakni det(A) = $a_{11}a_{22}.....a_{nn}$

Contoh:

$\begin{bmatrix}
2 & 7 & -3 & 8 & 3\\
0 & -3 & 7 & 5 & 1\\
0 & 0 & 6 & 7 & 6\\
0 & 0 & 0 & 9 & 8\\
0 & 0 & 0 & 0 & 4
\end{bmatrix}$
= (2)(-3)(6)(9)(4) = -1296

Teorema 3
Misalkan A adalah sebarang matriks n x n
a) jika A' adalah matriks yang dihasilkan bila baris tunggal A dikalikan oleh konstanta k, maka det(A) = k det(A)
b) jika A' adalah matriks yang dihasilkan bila dua baris A dipertukarkan, maka det(A') = -det(A)
c) Jika A' adalah matiks yang dihasilkan bila kelipatan satu baris A ditambahkan pada baris lain, maka det(A') = det(A)

Contoh:

$A =\begin{bmatrix}
1&2&3 \\
0&1&4 \\
1&2&1
\end{bmatrix}$
$B =\begin{bmatrix}
4&8&12 \\
0&1&4 \\
1&2&1
\end{bmatrix}$
$C =\begin{bmatrix}
0&1&4 \\
1&2&3 \\
1&2&1
\end{bmatrix}$
$D =\begin{bmatrix}
1&2&3 \\
-2&-3&2 \\
1&2&1
\end{bmatrix}$
jika kita hitung determinan matriks-matriks tersebut, maka kita dapatkan
det(A) = -2, det(B) = -8, det(C) = 2, det(D) = -2

Tetapi jika kita menerapkan metode Teorema 3 terhadap matriks-matriks tersebut , maka dengan mudahnya kita dapat menentukan determinan matriks-matriks dengan cepat. Seperti yang diramalkan oleh Teorema 3, kita punyai hubungan 

det(B) = 4det(A), det(C) = -det(A),  dan det(D) = det(A)
Mudahkan??