Bagaimana Menentukan Invers Matriks?

Sebuah invers dikatakan ada dalam permutasi (j1,j2,.....,jn) jika sebuah bilangan bulat yang lebih besar mendahului bilangan bulat yang lebih kecil. Jumlah invers seluruhnya yang terjadi dalam permutasi dapat diperoleh sebagai berikut: (1) Carilah banyaknya bilangan bulat yang lebih kecil dari j1 dan yang membawa j1 dalam permutasi tersebut; (2) Carilah banyaknya bilangan bulat yang lebih kecil dari j2 dan yang membawa j2 dalam permutasi tersebut. Teruskanlah proses perhitungan ini untuk j3,....jn-1. Jumlah bilangan-bilangan ini akan sama dengan jumlah invers seluruhnya dalam permutasi tersebut.

Contoh :

(i)                 (6,1,3,4,5,2)

(ii)               (2,4,1,3)

(iii)             (1,2,3,4)

(i)                 Banyaknya invers adalah 5+0+1+1+1=8

(ii)               Banyaknya Invers adalah 1+2+0=3

(iii)             Tidak ada invers dalam permutasi ini

Penjelasan Soal (i)

(i)                 (6,1,3,4,5,2)

Untuk menentukan invers kita misalkan (6,1,3,4,5,2) menjadi (j1,j2,j3,j4,j5,j6), kita mulai dengan j1 atau 6. Untuk menentukan nilai j1 kita hanya memperlihatkan jumlah bilangan dibawah 6 yaitu 5,4,3,2,1 berarti ada 5 angka, untuk j2 atau 1, karena tidak ada angka dibawah 1, berarti hasilnya 0, untuk j3 atau 3 yaitu angka 2 dan 1, dikarenakan ada angka 1` di sebelah kiri angka 3 maka hasilnya menjadi 2 dan jumlahnya menjadi 1, untuk j4 atau 4 jumlah bilangan di bawah angka 4 yaitu 3,2,1 karena ada 3 dan 1 di sebelah kanan angka 4, maka hasilnya menjadi 1 dan jumlahnya 1. Dan seterusnya...

      Maka inversnya yaitu 5+0+1+1+1= 8

 Soal-soal

Carilah banyaknya invers dalam setiap permutasi berikut

            (a)    (3 4 1 5 2)

            (b)   (1 2 3 4 5) 

            (c)    (4 2 5 3 1)

            (d)   (1 3 5 4 2)

            (e)    (5 4 3 2 1)

            (f)    (2 3 5 4 1)

 Sumber : Aljabar Linear Elementer - Howard Anton