Cara Eliminasi Gauss-Jordan

by Muhammad Rahmi on May 20, 2014 in Aljabar Matriks

A. Apa itu Eliminasi Gauss-Jordan

$\begin{bmatrix} 1 \0 \0 \1 \\ 0 \1 \0 \2\\ 0 \0 \1 \3 \end{bmatrix}$

Eliminasi Gauss-Jordan merupakan cara eliminasi dengan mereduksi matriks menjadi bentuk eleson baris terreduksi.

$\begin{bmatrix} 1 \0 \0 \1 \\ 0 \1 \0 \2\\ 0 \0 \1 \3 \end{bmatrix}$
Contoh Barisan Eselon Terreduksi

Biasanya Eliminasi Gauss / Gauss-Jordan ini digunakan untuk memecahkan sistem persamaan linear yang kemudian diubah kedalam bentuk matriks.

Contoh :

Pecahkanlah sistem berikut dengan menggunakan eliminasi Gauss-Jordan!

$2x_{1}-3x_{2}=-2$

$2x_{1}+x_{2}=1$
$3x_{1}+2x_{2}=1$

Jawab :

Matriks yang diperbesar untuk sistem tersebut adalah (langkah 1)

$\begin{bmatrix} 2&-3 &-2 \\ 2&1 &1 \\ 3&2 &1 \end{bmatrix}$

Kalikanlah baris pertama dengan 1/2 untuk mendapatkan 1 utama pada baris pertama (langkah 2)

$\begin{bmatrix} 1 &-3/2 &-1 \\ 2&1 &1 \\ 3&2 &1 \end{bmatrix}$

Tambahkanlah -2 kali baris pertama pada baris kedua (langkah 3)

$\begin{bmatrix} 1 &-3/2 &-1 \\ 0&4 &3 \\ 3&2 &1 \end{bmatrix}$

Tambahkanlah -3 kali baris pertama pada baris ketiga (langkah 4)

$\begin{bmatrix} 1 &-3/2 &-1 \\ 0&4 &3 \\ 0&13/2 &4 \end{bmatrix}$

Kalikanlah baris kedua dengan 1/4 untuk mendapatkan 1 utama pada baris kedua (langkah 5)

$\begin{bmatrix} 1 &-3/2 &-1 \\ 0&1 &3/4 \\ 0&13/2 &4 \end{bmatrix}$

Tambahkanlah -13/2 kali baris pertama pada baris ketiga (langkah 6)

$\begin{bmatrix} 1 &-3/2 &-1 \\ 0&1 &3/4 \\ 0&0 &-7/8 \end{bmatrix}$

Kalikan baris ketiga dengan -8/7 untuk mendapatkan 1 utama pada baris ketiga (langkah 7)

$\begin{bmatrix} 1 &-3/2 &-1 \\ 0&1 &3/4 \\ 0&0 &1 \end{bmatrix}$