Pembuktian Ketaksamaan RAG (Rerata Aritmetika Geometri)

Jika $a,b\in P$ maka berlaku: $\sqrt{ab}\leq \frac{1}{2}(a+b)$


Bukti:
Jika $a=b$ maka relasi pada RAG menjadi kesamaan. Asumsikan $a\neq b$.
Karena $a> 0$ dan $b> 0$ maka $\sqrt{a}> 0$ dan $\sqrt{b}> 0$
Perhatikan bahwa:


$a.b \leq 0$
$(\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b})\neq 0$
Karena $\sqrt{a}+\sqrt{b}> 0$ maka $\sqrt{a}-\sqrt{b}\neq 0$
$(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2> 0$
$(\sqrt{a})^2-2\sqrt{ab}+(\sqrt{b})^2> 0$
$a-2\sqrt{ab}+b> 0$
$a+b>2\sqrt{ab}$
$\frac{1}{2}(a+b)>\sqrt{ab}$
$\sqrt{ab}<\frac{1}{2}(a+b)$
(Terbukti)


Ini adalah ekspresi ketaksamaan RAG $\frac{1}{2}(a+b)\rightarrow RA$ (Rerata Aritmetika) dari dua bilangan real a dan b. $\sqrt{ab}\rightarrow RG$ (Rerata Geometri) dari a dan b.

Baca Juga : Pembuktian Ketaksamaan Cauchy  
                     Pembuktian Ketaksamaan Bernoulli

Sumber : Catatan Kuliah