Ruang Hasil Kali Dalam dan Pembahasan Soal

Ruang Hasil Kali Dalam (blogaritma.net)

Definisi:

    Sebuah hasil kali dalam ( inner product) pada ruang vektor riil, V adalah fungsi yang mengasosiasikan bilangan riil (u,v) dengan masing-masing pasangan vektor u dan v. pada V sedemikian rupa sehingga aksioma-aksioma berikut dipenuhi untuk semua vektor u,v dan w di V dan juga untuk semua skalar k.

   1.  < u,v > = < v,u > ( aksioma simetri)

   2.  < u+v,w > = < u,w > + < v,w > ( aksioma penambahan)

   3.  < ku,v > = k < u,v > ( Aksioma kehomogenan)

   4.  < v,v > ≥ 0 dan < v,v > = 0 ( Aksioma Kepositifan)

        Jika dan hanya jika v = 0

     Sebuah ruang vektor riil dengan sebuah hasil kali dalam dinamakan ruang hasil kali dalam riil ( real product space)

Keterangan :
Notasi Fungsi

• y = f(x)
y        : Ruang (daerah hasil)
f(x)     : Domain

• < u,v >
< u, v >: Range ( Bilangan Real)
u,v       : Domain (Pasangan vektor u dan v)

Contoh:
1. Misal u,v ∈ R³ dengan u = (x­₁, y₁, z­₁) dan v = (x­₂, y­₂, z­₂). Jika < u,v > = 3x­₁x­₂ + 5y­₁y­₂ - z­₁z­₂ . Tentukan < u,v > jika :
 a. u = (2,1,-3) dan v = (5,0,2)
     < u,v >    = < (2,1,-3),(5,0,2) >
                    = 3.2.5 + 5.1.0 –(-3).2
                    = 30 + 0 + 6 = 36

 b. u = (-3,2,1) dan v = (2,1,0)
     < u,v >    = < (-3,2,1),(2,1,0) >
                    = 3(-3).2 + 5.2.1 - 1.0
                    = -18 + 10 - 0 = -8

2. Misal u,v ∈ R² dengan  u = (x­₁, y₁) dan v = (x­₂, y­₂). Tentukan apakah  < u,v > berikut merupakan hasil kali dalam di R² !
a. < u,v > = 3x­₁x­₂ + 5y­₁y­₂
b. < u,v > = x­₁x­₂ - 2y­₁y­₂

Jawab:
a. Misal u = (x­₁, y₁) , v = (x­₂, y­₂) dan w = (x­₃, y­₃)
Buktikan Aksioma 1
< u,v >    = < v,u >
< u,v >    = < (x­₁, y₁), (x­₂, y­₂) >
               = 3x­₁x­₂ + 5y₁y­₂
               = 3x­₂x­₁ + 5y₂y­₁
               = < (x­₂, y­₂), (x­₁, y₁) >
               = < u,v >

Memenuhi Aksioma 1

Buktikan Aksioma 2
< u+v,w >    = < u,w > + < v,w >
< u+v,w >    = < (x­₁, y₁)+(x­₂, y­₂), (x­₃, y­₃) >
                    = < (x­₁ + x­₂ , y₁ + y­₂ ), (x­₃, y­₃) >
                    = 3(x­₁ + x­₂).x­₃ + 5(y₁ + y­₂).y­₃
                    = (3x­₁+3x­₂).x­₃ + (5y₁ + 5y­₂).y­₃
                    = 3x­₁x­₃ + 3x­₂x­₃ + 5y₁y­₃ + 5y­₂y­₃
                    = (3x­₁x­₃ + 5y₁y­₃) + (3x­₂x­₃ +  5y­₂y­₃)
                    = < (x­₁, y₁),(x­₃, y­₃) > + < (x­₂, y­₂), (x­₃, y­₃) >
                    = < u,w > + < v,w >

Memenuhi Aksioma 2

Baca Juga : Ruang Hasil Kali Dalam Euclides
                     Cara Mengerjakan Aksioma pada Ruang Vektor 

Buktikan Aksioma 3
< ku,v >     = k < u,v >
< ku,v >     = < k(x­₁, y₁),(x­₂, y­₂) >
                  = < (kx­₁, ky₁), (x­₂, y­₂) >
                  = 3kx­₁x­₂ + 5ky₁y­₂
                  = k (3x­₁x­₂ + 5y₁y­₂)
                  = k < u,v >

Memenuhi Aksioma 3

Buktikan Aksioma 4
# < v,v > ≥ 0
   < v,v > = < (x­₂, y­₂), (x­₂, y­₂) >
               = 3x­₂x­₂ + 5y­₂y­₂
               = 3x­₂² + 5y­₂² ≥ 0

     Karena x­₂² dan y­₂² akan selalu bernilai positif atau ≥ 0 , maka 3x­₂² ≥ 0 dan 5y­₂² ≥ 0. Jadi 3x­₂² + 5y­₂² ≥ 0

# < v,v > = 0
   < v,v > = < (x­₂, y­₂), (x­₂, y­₂) >
               = 3x­₂x­₂ + 5y­₂y­₂
               = 3x­₂² + 5y­₂² = 0

     Karena x¬2 = y¬2 = 0 atau v = ( 0,0 ) = 0

Memenuhi Aksioma 4

KESIMPULAN  : < u,v > = 3x­₁x­₂ + 5y₁y­₂ merupakan hasil kali dalam di R².

yang b bisa dicoba sendiri.... good luck!!