Ortogonal dan Pembahasan Soal

Ortogonal (blogaritma.net)

Definisi:
Ortogonal ⏊
    u ⏊ v ; u ortogonal v jika < u,v > = 0
    u ⏊ v ; u ortogonal, missal w = (w₁ w₂, … , w_n) ; u ⏊ w jika u ⏊ v

Contoh :
1. Tentukan nilai k agar u orthogonal di V!
    u = (2,k) , v = (k,2k) dengan < u,v > = x₁x₂ + y₁y₂ di R²
 
Jawab:
Agar u ⏊ v maka < u,v > = 0
< (2,k),(k,2k) >    = 0
        2k + k(2k)    = 0
       2k + 2k2        = 0
         k(2+2k)        = 0

maka
     k = 0 dan 2 + 2k = 0
     2+2k = 0 berarti k = -1

Berarti nilai k agar u orthogonal pada v adalah -1

2. Tentukan nilai a dan b agar u orthogonal pada himpunan w!
    u = (3.1)
   w = { (2a,5),(2,3b) }
   dengan < (x₁x₂) , (y₁y₂) > = 2x₁x₂ + y₁y₂ di R²

Jawab:
# u ⏊ (2a,5) atau < u, (2a,5) > = 0
   < u, (2a,5) >         = 0
   < (3,1), (2a,5) >    = 0
        2.3(2a) + 1.5    = 0
             12a + 5        = 0
                           a     = (-5)/12

# u ⏊ (2,3b) atau < u, (2,3b) > = 0
   < u, (2,3b) >         = 0
   < (3,1), (2,3b) >    = 0
       2.3.2 + 1.(3b)    = 0
             12 + 3b        = 0
           b     = (-12)/3 = -4

Jadi nilai a dan b agar memenuhi ortogonal pada himpunan w yaitu a = -5/12 dan b = -4

Definisi:
Dalam sebuah ruang hasil kali dalam, himpunan w disebut orthogonal, jika
    wi ⏊ wj ; i ≠j atau < wi , wj > = 0 ; i ≠j
    a. w Ortogonal
    b. ‖wi‖ = 1 dengan i = 1,2,3,….,n

Contoh:
Deiketahui : u,v ∈ R³ , u = ( x₁,y₁,z₁ ) dan v = (x₂,y₂,z₂ ) dengan < u,v > = x₁x₂ + 2y₁y₂ + z₁z₂. Tentukan apakah w orthogonal !
    a. w = { (1,-1,2) , (0,1,1)}
    b. w = {(2,1,3) , (-1,-2,2),(1,0,(-2)/3)}

Jawab:
Bukti harus < wi , wj > = 0
a. < (1,-1,2) , (0,1,1) >    = 1.0 + 2(-1).1 + 2.1
                                        = 0 -2 +2 = 0
Terbukti w orthogonal

b. # < (2,1,3),(-1,-2,2) >        = 2.(-1) + 2.2.(-2) + 3.2
                                               = -2 – 8 + 6 = 0

    # < (2,1,3), (1,0,(-2)/3)>    = 2.1 + 2.1.0 + 3.(-2)/3
                                              = 2 + 0 -2 = 0

    # < (-1,-2,2),( (1,0,(-2)/3)>    = (-1).1 +2.(-2).0 + 2. (-2)/3
                                                   = -1 + 0 - 4/3 = - 7/3
Jadi w Bukan Ortogonal