Jenis - Jenis Operasi Biner - Struktur Aljabar

Jenis - Jenis Operasi Biner (blogaritma.net)

Definisi:

Misal S suatu himpunan, S ≠ Ø, operasi biner o (dibaca : Bundaran) pada S adalah suatu pemetaan yang mengawetkan (a,b) ∊ S × S  dengan tepat satu elemen a o b ∊ S  atau dapat ditulis: o: S x S ➝ S

Operasi biner dalam himpunan S sering disebut operasi yang tertutup dalam himpunan atau ∀a,b ∊ S ∍ a o b ∊ S

Jenis- Jenis Operasi Biner
1. Komutatif
Definisi:
Suatu operasi o dalam himpunan S dikatakan komutatif bila dan hanya bila 
a,b ∊ S ∍ a o b - b o a 

2. Asosiatif
Definisi:
Suatu operasi biner o dalam himpunan S dikatakan asosiatif bila dan hanya bila 
a,b,c ∊ S ∍ (a o b) o c = a o (b o c)

3. Memiiki Identitas
Definisi:
Suatu operasi biner o daam himpunan S dikatakan memiliki identitas bila dan hanya bila 
∀a ∊ S, ∃u ∊ S ∍ a o u = u o a = a  dan u disebut elemen identitas

4. Memiliki Invers
Definisi:
Misal himpunan S dengan operasi biner o memiliki identitas u, maka elemen a memiliki invers bila dan hanya bila ada elemen b ∊ S ∍ a o b - b o a - u dan elemen b disebut invers dari a dan sebaliknya yang dinotasikan b = a^-1 atau  a = b^-1

Soal :
Periksa apakah operasi * dalam R = himpunan bilangan real, merupakan operasi yang tertutup, komutatif, asosiatif, memiliki identitas, atau memiliki invers, apabila ∀x, y, z ∊ R, berlaku:
x * y = x + y + 1
x * y = $\sqrt (x^2+y^2)$
x * y = |xy|
x * y = |x + y|
x * y = x – y
x * y = xy + 1
x * y = max {x, y} = yang terbesar dari bilangan real x dan y
x * y = xy/(x + y + 1)