Relasi Ekuivalen - Struktur Aljabar

Relasi Ekuivalen (blogaritma.net)

Definisi : Suatu relasi “~” yang terdefinisi dalam himpunan A disebut relasi ekuivalen bila dipenuhi tiga sifat berikut, ∀a,b ∈ A berlaku: 

a. a ~ a (sifat refleksif) 

b. Jika a ~ b maka b ~ a (sifat simetrik) 

c. Jika a ~ b dan b ~ c maka a ~ c (sifat transitif) 

Contoh: 

1. Misal B adalah himpunan bilangan bulat dan a = b berarti bahwa a ~ b habis dibagi 5. Tunjukkan bahwa relasi ≡ merupakan relasi ekuivalen! 

Penyelesaian: 

a. Dibuktikan Sifat refeksif (a ~ a) 

Relasi ≡ bersifat refleksif karena a ∈ b berlaku a ≡ a yang berarti a - a = 0 = 5.0 yang habis dibagi 5 

b. Dibuktikan bersifat simetrik (a ~ b maka b ~ a) 

Relasi ≡ bersifat simetrik karena jika a ≡ b yang berarti a - b = 5k ekuivalen dengan b - a = -5k yang berarti habis dibagi 5 atau b ≡ a

c. Dibuktikan bersifat transitif (a~b dan b~c maka a~c)

Relasi ≡ bersifat transitif karena jika a ≡ b yang berarti a - b = 5k dan b ≡ c berarti b - c = 5n, maka apabia dijumahkan keduanya diperoleh (a - b)+(b - c) = 5k + 5n ↔ a - c = 5(k + n) habis dibagi 5, hal ini berarti a ≡ c

Kesimpulan: Jadi Relasi ≡ merupakan relasi ekuivalen 

2. Selidiki relasi ~ apakah merupakan relasi ekuivalen pada himpunan S jika S = Himpunan garis lurus pada bidang, dengan a ~ b artinya a dan b 

Penyelesaian: 

a. Dibuktikan bersifat refleksif (a ~ a) 

Bukti : Ambil sembarang a ∈ S artinya a garis lurus pada bidang. karena a garis lurus , maka a sejajar dengan dirinya sendiri atau a sejajar dengan a. berarti a ~ a 

b. Dibuktikan bersifat simetrik (a ~ b maka b ~ a) 

Bukti: a ∈ S, a ~ b artinya a sejajar dengan b, maka b juga sejajar dengan a, maka kesimpulannya a ~ b ➝ b ~ a 

c. Dibuktikan bersifat transitif (a~b dan b~c maka a~c) 

Bukti: Ambil  a,b,c ∈ S 

(ket: // : Sejajar ) 

a ~ b artinya a // b 

b ~ c artinya b // c 

karena a // b dan b // c, maka a // c atau a ~ c 

Kesimpulan : Relasi ~ merupakan relasi ekuivalen 

Teorema :

Misalkan a,b,c,d ∈ A dan [a] = { x | x ∈ A dan x ~ a }, maka:

(a) Jika b ∈ [a] maka [b] = [a]

(b) [a] = [b] bila dan hanya bila a ~ b

(c) Jika [a] ∩ [b] ≠ Ø maka [a] = [b]

(d) [a] ∩ [b] = Ø bila dan hanya bila a ≁ b

(e) Jika c ∈ [a], d ∈ [b] dan [a] ≠ [b], maka c ≁ d

Sumber: S,Sukanto.SRTUKTUR ALJABAR 1.2008.Garut.STKIP Garut dan Buku Catatan