Pembuktian Teorema-Teorema pada Sifat Aljabar Analisis Real

Teorema 1

Jika z∈ R ⋀ a∈ R lainnya yang bersifat z + a = a maka z = 0

Bukti 1 :

z + a = a, ∀a,z ∈ R ⇾ z = 0  

Akan dibuktikan 

Misal :

a,z ∈ R

z + a = a

Karena a∈R maka ∃(-a)∈ R ∋ a + (-a) = (-a) + a = 0

z + a + (-a) = a + (-a)

a + (z + (-a)) = a + (-a)             (Sifat asosiatif operaasi penjumlahan)

z + 0 = 0                                   (Sifat eksistensi elemen negatif)

z = 0                                         (Sifat kewujudan elemen nol)

∴ Jadi terbukti jika z ∈ R ⋀ a ∈ R lainnya yang bersifat z + a = a maka z = 0   

Bukti 2 :

Akan dibuktikan z + a = a, ∀a,z ∈ R ⇾ z = 0  

Misal :

a,z ∈ R

z + a = a

Berdasarkan sifat kewujudan elemen nol ∀z ∈ R

z = z + 0 

Berdasarkan sifat eksistensi elemen negatif

∃(-a)∈ R ∋ a + (-a) = (-a) + a = 0

Sehingga

z = z + (a + (-a))

z = (z + a) + a)

z = a = (-a)

z = 0

∴ Jadi terbukti jika z ∈ R ⋀ a ∈ R lainnya yang bersifat z + a = a maka z = 0

Teorema 2

Jika u ∈ R ⋀ b ≠ 0 ∈ R yang bersifat u,b = b, maka berlaku u = 1   

Bukti :

u,b = b,∀u,b ∈ R ⇾ b ≠ 0

Misal :

u,b ∈ R

u + b = b

Karena b∈ R ⋀ b ≠ 0  

Maka

∀a ∈ R, a ≠ 0,∃$\frac{1}{a}$ ∈ R ∋ $\frac{1}{a}.a=a.\frac{1}{a}=1$

u * b = b

u * b.$\frac{1}{b}=b.\frac{1}{b}$                     (eksistensi elemen invers)

u * 1 = 1                                           (aksioma kesatuan)

u = 1                                                 (sifat kewujudan elemen satuan) 

∴ Jadi terbukti jika u ∈ R ⋀ b ≠ 0 ∈ R yang bersifat u,b = b, maka berlaku u = 1

Baca Juga : Nilai Mutlak dan Pembuktian Teorema

Teorema 3

Jika a suatu elemen pada bilangan real, maka berlaku a.0 = 0 

Bukti :

a.0 = 0 ⇾ ∈ R

Karena a + a.0 = a.1 + a.0 = a.(1+0) = a.1 = a maka a.0 = 0 

Teorema 4

Jika a ∈ R, maka (-1).a = -a

Bukti :

Teorema 5

Jika a ∈ R, maka -(-a) = a

Bukti :

Teorema 6

Jika a ∈ R, maka (-1).(-1) = 1

Bukti :

Teorema 7

Jika a + b = 0, maka b = -a

Bukti:

Karena a + b = 0

a + b = 0 ↔ (-a) + (a + b) = (-a) + 0    

↔ ((-a) + a) + b = -a                            (sifat asosiatif penjumlahan dan eksistensi elemen nol)

↔ 0 + b = -a                                        (invers penjumlahan)

↔ b = -a                                              (eksistensi elemen nol)

 Teorema 8

Jika a ≠ 0 dan b ∈ R sedemikian hingga a . b = 1, maka $b=\frac{1}{a}$

Bukti:

Karena a . b = 1, maka

a . b = 1 ↔ $\left (\frac{1}{a}  \right )(a.b)=\frac{1}{a}.1$  

↔  $\left (\frac{1}{a}.a  \right )(b)=\frac{1}{a}$ 

↔  $1.b=\frac{1}{a}$

↔  $b=\frac{1}{a}$

Teorema 9

Jika a . b = 0, maka a = 0 atau b = 0

Bukti:

Diketahui a . b = 0, maka

a . b = 0 ↔ $\left (\frac{1}{a}  \right )(a.b)=\frac{1}{a}.0$  

↔  $\left (\frac{1}{a}.a  \right )(b)=0$ 

↔  $1.b=0$

↔  $b=0$

a . b = 0 ↔ $\left (\frac{1}{b}  \right )(a.b)=\frac{1}{b}.0$  

↔  $\left (\frac{1}{b}.b  \right )(a)=0$ 

↔  $1.a=0$

↔  $a=0$

Baca Juga : Pembuktian Rasional dan Irasional