Pembuktian Sifat-Sifat Urutan pada R

Sifat-sifat urutan pada R

Ada subset tak kosong P ⊂ R yang disebut dengan himpunan bilangan –bilangan real positif tegas, yang memenuhi sifat-sifat berikut:

• Jika a,b ∈ P , maka a+b ∈ P
• Jika a,b ∈ P, maka ab ∈P
• Jika a ∈ P, maka memenuhi tepat satu kondisi berikut:
  a ∈ P,                          a = 0                       -a ∈ P
  Sifat ini sering disebut dengan SIFAT TRIKOTOMI

Definisi:

• Jika a ∈ P, ditulis a > 0            (a adalah bilangan real positif)
• Jika a ∈ P∪{0}, ditulis ≥ 0       (a bilangan real nonnegatif)
• Jika –a ∈ P, ditulis a > 0           (a adalah bilangan real negatif)
• Jika –a ∈ P∪{0}, ditulis ≥0      (a bilangan real nonpositif)
  

Definisi:
Diberikan a,b ∈ R

• Jika a – b ∈ P, maka ditulis a > b atau b < a
• Jika a – b ∈ P ∪{0}, maka ditulis a ≥ b atau b ≤ a
  Sifat trikotomi
  a > b              a = b           a < b
  

Teorema 1

Diberikan sebarang a,b,c ∈ R

• Jika a > b dan b > c , maka a > c
  Bukti
  a > b ditulis a – b ∈ P
  b > c ditulis b – c ∈ P
  dijumlah menjadi (a – b) + (b – c) ∈ P ↔ a – b + b – c ∈ P ↔ a – c ∈ P
  Sehingga a – c ∈ P dapa ditulis menjadi a > c.

 

• Jika a > b , maka a + c > b + c
  Bukti
  z ∈ R
  a > b ditulis a – b ∈ P
  (a – b) + z ∈ R
  a – b + c – c ∈ R
  (a + c) - (b + c) ∈ R
  Dapat ditulis menjadi a + c > b + c.

 

• Jika a > b dan c > 0, maka ca > cb
  Jika a > b dan c < 0, maka ca < cb
  Bukti
  a > b ditulis a – b ∈ P
  c > 0 ditulis c – 0 ∈ P
  dikalikan menjadi (a – b).(c – 0) ∈ P ↔ ac – 0 – bc + 0 ∈ P ↔ ac – bc ∈ P
  Sehingga dapat ditulis ca > cb
  Bukti
  a > b ditulis a – b ∈ P
  c < 0 ditulis 0 – c ∈ P
  Dikalikan menjadi (a – b).(0 – c) ∈ P ↔ 0 – ac – 0 + bc ∈ P ↔ –ac + bc ∈P ↔bc-ac ∈ P
  Sehingga dapat ditulis cb > ca atau ca < cb

 

• Jika a > 0, maka $\frac{1}{a}$ > 0
  Jika a < 0, maka $\frac{1}{a}$ < 0
  Bukti
  Jika a > 0, maka $\frac{1}{a}$ > 0
  a > 0 ditulis a – 0 ∈ R
  1/a-0 ∈ P
  

Teorema 2

1. Jika a ∈ R dan a ≠ 0, maka $a^2>0$
2. 1 > 0
3. Jika n ∈ N, maka n > 0

Bukti

1. Menurut sifat Trichotomi, untuk a ≠ 0, maka a ∈ P atau -a ∈ P. Dengan sifat urutan (2) a o a = $a^2$ ∈ P atau (-a) o (-a) = $a^2 \in P$  Jadi $a^2 > 0$
2. Dari (1) : 1 ≠ 0 –> $1^2 \in P$. Jadi 1 > 0  maka 1 o 1 = 1 
3. Dengan induksi matematika:
               i)  n = 1 –.> 1 > 0             benar karena (2)
               ii) Dianggap benar untuk n = k 
   Karena 1 ∈ P dan k ∈ P  maka dengan sifat urutan (1) : k + 1 ∈ P. Jadi k + 1 > 0 

Teorema 3
Jika a,b ∈ R dan a < b, maka a < $\frac{(a+b)}{2}$<b
Bukti:

• Kiri
  a < b                                           kedua ruas ditambah a
  a + a < a + b ↔ 2a < a + b
  ↔ a<$\frac{(a+b)}{2}$

 

• Kanan
  a < b                                           kedua ruas ditambah b
  a + b < b + b ↔ a + b < 2b
  ↔ $\frac{(a+b)}{2}<b$
  Dari kedua pernyataan di atas diperoleh a < $\frac{a+b}{2}$<b

Teorema 4
Jika a ∈ R sedemikian hingga 0≤ a ≤ ε untuk setiap ε > 0, maka a = 0
Bukti:
Andaikan a > 0 maka a>a$\frac{a}{2}$>0. Diambil $ε_0 = a/2$  ($ε_0$ bilangan real positif tegas), maka a >$ε_0$ >0. Kontradiksi dengan pernyataan 0 ≤ a ≤ ε untuk setiap ε > 0. Jadi, pengandaian salah, yang benar adalah a = 0

Teorema 5
Jika ab > 0, maka berlaku
   i) a > 0 dan b > 0 atau
   ii) a < 0 dan b < 0
Akibat
Jika ab<0, maka berlaku
  i) a < 0 dan b > 0 atau
  ii) a > 0 dan b < 0

 

Sumber : Catatan Kuliah