Cara menentukan Determinan dengan Ekspansi Kofaktor

Definisi:
Jika A adalah matriks kuadrat, maka minor entri $a_{ij}$ dinyatakan oleh $M_{ij}$ dan didefinisikan menjadi determinan submatriks yang tetap setelah baris ke i dan kolom j dicoret dari A. Bilangan $(-1)^{i+j}M_{ij}$ dinyatakan oleh $C_{ij}$ dan dinamakan kofaktor entri $a_{ij}$

Minor 
Minor dari suatu unsur adalah suatu determinan yang dihasilkan setelah terjadi penghapusan baris dan kolom di mana unsur itu terletak.
Contoh:
$M_{12}=\begin{vmatrix} a_{21} & a_{23}\\ a_{31} & a_{33} \end{vmatrix}=a_{21}a_{33}-a_{23}a_{31}$

Kofaktor 
Kofaktor dari suatu unsur adalah minor unsur itu berikut tanda. Kofaktor dari suatu unsur yang terletak pada garis ke-i dan ke-j dirumuskan sebagai berikut
$(-1)^{i+j}M_{ij}$
dengan i = 1,2,3,....
             j = 1,2,3,....

Contoh:
$\begin{bmatrix} 3 & 1 & -4\\ 2 & 5 & 6\\ 1 & 4 & 8 \end{bmatrix}$

Minor entri $a_{ij}$ adalah

$M_{11}=\begin{bmatrix} 3 & 1 & -4\\ 2 & 5 & 6\\ 1 & 4 & 8 \end{bmatrix}=\begin{vmatrix} 5 & 6\\ 4 & 8 \end{vmatrix}=16$

Kofaktor $a_{ij}$ adalah
$C_{11}=(-1)^{1+1}M_{11}=M_{11}=16$

Cara cepat menentukan apakah + atau - yaitu :
$\begin{bmatrix} + & - & + & - & + & \cdots \\ - & + & - & + & - & \cdots\\ + & - & + & - & + & \cdots\\ - & + & - & + & - & \cdots\\ \vdots  & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots  & \end{bmatrix}$

Contoh soal:
1. Diketahui matriks $A=\begin{bmatrix}3 & 5 & 7\\ -2 & 4 & 3\\ 4 & -1 & 2\end{bmatrix}$. Tentukan determinan matriks A dengan cara ekspansi kofaktor menurut baris kedua

Jawab:
$\begin{vmatrix}3 & 5 & 7\\ {\color{Red}-2} &{\color{Red}4} &{\color{Red}3}\\ 4 & -1 &2\end{vmatrix}$
$=-(-2)\begin{vmatrix}5 & 7\\ -1 &2 \end{vmatrix}+4\begin{vmatrix}3 & 7\\ 4 &2 \end{vmatrix}-3\begin{vmatrix}3 & 5\\ 4 &-1 \end{vmatrix}$
= 2(10+7) + 4(6-28) - 3(-3-20)
= 2(17) + 4(-22) -3(-23) = 15

Jadi det (A) = 15, untuk membuktikannya coba menggunakan cara sarrus atau kofaktor menurut baris lainnya!