Definisi Limit Fungsi - Analisis Real

Definisi Limit

A. $\lim_{x\rightarrow c}f(x)=L$
Definisi :
$\forall \epsilon >0,\exists \delta >0\ni |x-c|<\delta \rightarrow |f(x)-L|<\epsilon$

B. $\lim_{x\rightarrow c}f(x)=+\infty$
Definisi :
$\forall \beta >0,\exists \delta >0\ni |x-c|<\delta \rightarrow f(x)>\alpha$

C. $\lim_{x\rightarrow c}f(x)=-\infty$
Definisi :
$\forall \beta >0,\exists \delta >0\ni |x-c|<\delta \rightarrow f(x)<\beta$ 

D. $\lim_{x\rightarrow c^+}f(x)=L$
Definisi :
$\forall \alpha >0,\exists \delta >0\ni x-c<\delta \rightarrow |f(x)-L|<\epsilon$

  







E. $\lim_{x\rightarrow c^+}f(x)=+\infty$
Definisi :
$\forall \alpha >0,\exists \delta >0\ni x-c<\delta \rightarrow f(x)> \alpha$

F. $\lim_{x\rightarrow c^+}f(x)=-\infty$
Definisi :
$\forall \beta >0,\exists \delta >0\ni x-c<\delta \rightarrow f(x)<\beta$

G. $\lim_{x\rightarrow \infty}f(x)=\infty$
Definisi :
Misal : $x\in (a,\infty)$ atau $a<x<\infty, a>0$
$\forall \alpha \in R, \alpha >0,\exists k(\alpha)>a ,\exists$ jika jika x > k maka f(x) > α

H. $\lim_{x\rightarrow \infty}f(x)=-\infty$
Definisi :
Misal : $x\in (a,\infty)$ atau $a<x<\infty, a>0$
$\forall \beta \in R, \beta <0,\exists k(\beta)>a,\exists$ jika jika x > k maka f(x) < β

I. $\lim_{x\rightarrow -\infty}f(x)=\infty$
Definisi :
Misal : $x\in (-\infty,b)$ atau $-\infty<x<b, b<0$
$\forall \alpha \in R, \alpha >0,\exists k(\alpha)<b,\exists$ jika jika x < k maka f(x) > α

J. $\lim_{x\rightarrow -\infty}f(x)=-\infty$
Definisi :
Misal : $x\in (-\infty,b)$ atau $-\infty<x<b, b<0$
$\forall \beta \in R, \beta <0,\exists k(\beta)<0,\exists$ jika jika x < k maka f(x) > β

Contoh:
Buktikan bahwa $\lim_{x\rightarrow 2} 3x+5=11$

Jawab:
Analisis Pendahuluan
$|x-c|\leq \delta$ maka $|f(x)-L|\leq \epsilon$
$|x-c|\leq \delta \rightarrow |(3x+5)-11|\leq \epsilon$
$\rightarrow |3x-6|\leq \epsilon$
$\rightarrow 3|x-2|\leq \epsilon$
$\rightarrow |x-2|\leq \frac{\epsilon}{3}$
$\therefore \delta=\left \lceil \frac{\epsilon}{3}  \right \rceil$

Bukti Formal
$\forall \epsilon > 0, \exists \frac{\epsilon}{3}\ni$ jika $|x-2|\leq \delta$ maka $|(3x+5)-11|\leq \epsilon |x-2|\leq \frac{\epsilon}{3}$
$|(3x+5)-11|\leq \epsilon$
$|3x-6|\leq \epsilon$
$3|x-2|\leq \epsilon$
$3.\frac{\epsilon}{3} \rightarrow \epsilon \leq \epsilon$