Ruang Hasil Kali Dalam Euclides

Panjang, Jarak dan Sudut Di Ruang Hasil Kali Dalam

Ruang Hasil Kali Dalam Euklidis (blogaritma.net)

Rumus-Rumus:

1. Panjang Vektor

Di R² panjang vektor u =(u₁,u₂) maka

$||u||=\sqrt{u_1^{2}+u_2^{2}}$

atau

$||u||=\sqrt{u.u}=(u.u)^{\frac{1}{2}}$

Di R³ panjang vektor u = (u₁,u₂,u₃) maka

$||u||=\sqrt{u_1^{2}+u_2^{2}+u_3^{3}}$

atau

$||u||=\sqrt{u.u}=(u.u)^{\frac{1}{2}}$

Definisi:

Jika V adalah sebuah ruang hasil kali dalam, maka norma (panjang) vektor u dinyatakan ||u|| dan didefinisikan oleh $||u||=<u.u>^{\frac{1}{2}}$

 1. Jarak Vektor

Di R² panjang vektor u =(u₁,u₂) dan v = (v₁,v₂)  maka 

$d(u,v)=\sqrt{(u_1-v_1)^2+(u_2-v_2)^2}=||u-v||$

Di R³ panjang vektor u = (u₁,u₂,u₃) dan v = (v₁,v₂,v₃)  maka



$d(u,v)=\sqrt{(u_1-v_1)^2+(u_2-v_2)^2+(u_3-v_3)^2}=||u-v||$

Definisi:

Jika V adalah sebuah ruang hasil kali dalam, maka jarak antara dua titik (vektor) u dan v dinyatakan oleh d(u,v) dan didefinisikan oleh $d(u,v)=||u-v||$

Teorema 2.2 ( Teorema Phytagoras yang digeneralisasi)
Jika u dan v adalah vektor-vektor ortogonal pada ruang hasil kali dalam, maka

$||u+v||^2=||u||^2+||v||^2$ 

Bukti:

$||u+v||^2=\left \langle (u+v),(u+v) \right \rangle=||u||^2+2<u,v>+||v||^2$ 

$=||u||^2+||v||^2$

Definisi:

Dalam ruang hasil kali dalam, dua vektor u dan v dinamakan orthogonal jika <u,v> = 0. Selanjutnya jika u orthogonal terhadap setiap vektor pada himpunan W, maka kita katakan bahwa u orthogonal terhadap W

Contoh :

Tentukan apakah vektor yang diberikan pada bagian berikut ortogonal terhadap hasil kali dalam Euclides

a. u = (-1,2,4) , v = (2,3,-1)

b. u = (0,-1,2,5) , v = (2,1,-2,-9)

c. u = (a,b) , v = (-b,a)

Penyelesaian

a. u = (-1,2,4) , v = (2,3,-1)

<u,v> = <(-1,2,4),(2,3,-1)> 

           = -1.2+2.3+4.(-1)

           = -2 + 6 - 4 = 0

Karena <u,v> = 0 maka vektor tersebut ortogonal terhadap hasil kali dalam Euklides

b. u = (0,-1,2,5) , v = (2,1,-2,-9)

<u,v> = <(0,-1,2,5),(2,1,-2,-9)>

          = 0.2 + (-1).1 + 2.(-2) + 5.(-9)

          = 0 - 1 - 4 - 45

          = -50

Karena <u,v> = 0 maka vektor tersebut tidak ortogonal terhadap hasil kali dalam Euklides

c. u = (a,b) , v = (-b,a)

<u,v> = <(a,b),(-b,a)>

           = a.(-b) + b.a

           = -ab + ab = 0

Karena <u,v> = 0 maka vektor tersebut ortogonal terhadap hasil kali dalam Euklides

Latihan!

1. Dalam masing-masing bagian gunakan hasil kali dalam yang diberikan R² untuk mencari ||w|| dimana w = (-1,3)

a) Hasil kali dalam Euclidis

b) Hasil kali dalam Euclidis yang diboboti <u,v> = 3u₁v₁ + 2u₂v₂, dimana u = (u₁,u₂) dan v = (v₁,v₂) 

a) $||w||=<w.w>^\frac{1}{2}$

    $=<(-1,3).(-1,3)>^\frac{1}{2}$

    $=[-1(-1) + 3.3]^\frac{1}{2}$

    $=[1+9]^\frac{1}{2} = \sqrt{10}$

b) Coba sendiri ya!

Baca Juga Ruang Hasil Kali Dalam

     

Sumber : Anton,  Howard.  (1997). Aljabar  Linear  Elementer, Edisi  Kelima, terjemahan. Jakarta: Erlangga

Catatan Kuliah