Soal dan Pembahasan Grup - Struktur Aljabar

Grup (blogaritma.net)

GRUP
Misalkan G suatu himpunan, G ≠ Ø dan operasi o terdefiisi dalam G. Himpunan G dikatakan GRUP bila dan hanya bila berlaku

$1. \forall x,y\in G\ni x\circ y\in G$ [operasi o tertutup dalam G]
$2. \forall x,y,z\in G\ni (x\circ y)\circ z=x\circ (y\circ z)$  [operasi o asosiatif dalam G]
$3. \forall x\in G,\exists u\in G\ni x\circ u=u\circ x=x$ [memiliki identitas u]
$4. \forall x\in G,\exists x^{-1}\in G\ni x\circ x^{-1}=x^{-1}\circ x=u$ [invers dari x]

Contoh:
1. Apakah bilangan bulat Z (zahlen) dengan operasi perkalian biasa merupakan grup?
bukti:
1. Apakah tertutup (Z,✕)?
Tertutup, karena $\forall x,y\in Z\ni x \times  y\in Z$. jadi setiap bilangan bulat dikali dengan bilangan bulat menghasilkan bilangan bulat
2. Apakah asosiatif (Z,✕)?
Asosiatif, karena $\forall x,y,z\in Z\ni (x \times y)\times z=x\times (y \times z)$. Jadi bilangan bulat (Z) memenuhi sifat asosiatif dalam G
3. Memiliki identitas (Z,✕)?
Memiliki identitas, $\forall x\in Z,\exists u\in Z\ni x\times u=u\times x=x$ dan u = 0
4. Memiliki invers (Z,✕)?
$\forall x\in Z,\exists x^{-1}\in Z\ni x\times x^{-1}=x^{-1}\times x\neq u$, karena 0 tidak memiliki invers.

Jadi bilangan bulat bukan merupakan Grup

Contoh 2:
M himpunan matriks berordo 2 x 2 dengan elemen-elemennya bilangan real dan determinan = 1 dengan operasi perkalian pada matriks. Buktikan apakah GRUP?

Misal:
$M=\begin{bmatrix}a & b\\ c & d\end{bmatrix}, a,b,c,d\in R, ad-bc=1$
1. Tertutup? tertutup
2. Asosiatif?
$\left [ \begin{bmatrix}a_1 &b_1 \\ c_1 &d_1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}a_2 &b_2 \\ c_2 &d_2\end {bmatrix} \right ]\begin{bmatrix}a_3 &b_3 \\ c_3 &d_3 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}a_1a_2+b_1c_2 & a_1b_2+b_1d_2\\ c_1a_2+d_1c_2 & c_1b_2+d_1d_2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}a_3 &b_3 \\ c_3 &d_3\end{bmatrix}  $
$=\begin{bmatrix}
a_1a_2a_3+b_1c_2a_3+a_1b_2c_3+b_1d_2c_3&a_1a_2b_3+b_1c_2b_3+a_1b_2d_3+b_1d_2d_3 \\
c_1a_2a_3+d_1c_2a_3+c_1b_2c_3+d_1d_2c_3 &c_1a_2b_3+d_1c_2b_3+c_1b_2d_3+d_1d_2d_3
\end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix}a_1 &b_1 \\ c_1 &d_1 \end{bmatrix}\left [ \begin{bmatrix}a_2 &b_2 \\ c_2 &d_2
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a_3 &b_3 \\ c_3 &d_3 \end{bmatrix} \right ]=\begin{bmatrix}
a_1 &b_1 \\ c_1 &d_1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}a_2a_3+b_2c_3 & a_2b_3+b_2d_3\\
c_2a_3+d_2c_3 & c_2b_3+d_2d_3\end{bmatrix}$
$=\begin{bmatrix}
a_1a_2a_3+b_1c_2a_3+a_1b_2c_3+b_1d_2c_3&a_1a_2b_3+b_1c_2b_3+a_1b_2d_3+b_1d_2d_3 \\
c_1a_2a_3+d_1c_2a_3+c_1b_2c_3+d_1d_2c_3 &c_1a_2b_3+d_1c_2b_3+c_1b_2d_3+d_1d_2d_3
\end{bmatrix}$

(Asosiatif)

3. Memiliki identitas? IYA
$\begin{bmatrix}1 &0 \\ 0 &1 \end{bmatrix}$

4. Memiliki invers? IYA
$\begin{bmatrix}\frac{d}{ad-bc} &\frac{-b}{ad-bc} \\ \frac{-c}{ad-bc} &\frac{a}{ad-bc} \end{bmatrix}$

Terbukti bahwa $M=\begin{bmatrix}a & b\\ c & d\end{bmatrix}, a,b,c,d\in R, ad-bc=1$ adalah grup

       Bila hanya tia aksioma pertama dari keempat aksioma tersebut yang berlaku maka struktur aljabar tersebut dinamakan monoid, bila hanya dua aksioma yang pertama yang berlaku, struktur aljabar tersebut dinamakan semigrup, dan bila hanya berlaku operasi biner saja, maka struktur aljabar tersebut dinamakan grupoid. 

 

Sumber : Sukanto, Drs.2008."STRUKTUR ALJABAR I".Garut. STKIP Garut (tidak diterbitkan)