Soal dan Pembahasan Grup Abelian - Struktur Aljabar

 

Grup Abelian (blogaritma.net)

Definisi
Suatu grup (G) dengan operasi o dikatakan grup abelian (grup komutatif bila dan hanya bila $\forall x,y\in a\circ b=b\circ a$ (komutatif)

Contoh:
Semua matriks berordo 2 x 2  yang elemen-elemennya bilangan real dengan operasi penjumlahan pada matriks adalah suatu grup dan grup abelian. Buktikan!


$M_{2x2}=\begin{bmatrix}a &b \\ c &d \end{bmatrix},a,b,c,d\in R$
Apakah grup?
1. Tertutup?
$M_1+M_2=\begin{bmatrix}a_1 &b_1 \\ c_1 &d_1 \end{bmatrix}+\begin{bmatrix}a_2 &b_2 \\ c_2 &d_2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}a_1+a_2 &b_1+b_2 \\ c_1+c_2 &d_1+d_2 \end{bmatrix}$ hasilnya masih berbentuk matriks ordo 2x2 dan beranggotakan bil. R

2. Asosiatif
$(M_1+M_2)+M_3=\left [ \begin{bmatrix}a_1 &b_1 \\ c_1 &d_1 \end{bmatrix}+\begin{bmatrix}a_2 &b_2 \\ c_2 &d_2 \end{bmatrix} \right ]+\begin{bmatrix}a_3 &b_3 \\ c_3 &d_3 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}a_1+a_2 &b_1+b_2 \\ c_1+c_2 &d_1+d_2 \end{bmatrix}+\begin{bmatrix}a_3 &b_3 \\ c_3 &d_3 \end{bmatrix}$
$=\begin{bmatrix}a_1+a_2+a_3 &b_1+b_2+b_3 \\ c_1+c_2+c_3 &d_1+d_2+d_3 \end{bmatrix}$

$M_1+(M_2+M_3)=\begin{bmatrix}a_1 &b_1 \\ c_1 &d_1 \end{bmatrix}+\left [ \begin{bmatrix}a_2 &b_2 \\ c_2 &d_2 \end{bmatrix} +\begin{bmatrix}a_3 &b_3 \\ c_3 &d_3 \end{bmatrix}\right ]=\begin{bmatrix}a_1 &b_1 \\ c_1 &d_1 \end{bmatrix}+\begin{bmatrix}a_2+a_3 &b_2+b_3 \\ c_2+c_3 &d_2+d_3 \end{bmatrix}$
$=\begin{bmatrix}a_1+a_2+a_3 &b_1+b_2+b_3 \\ c_1+c_2+c_3 &d_1+d_2+d_3 \end{bmatrix}$

3. Memiliki Identitas? IYA
$I=\begin{bmatrix}1 &0 \\ 0 &1 \end{bmatrix}$

4. Memiliki invers? IYA
$M^{-1}=\begin{bmatrix}\frac{d}{ad-bc} &\frac{-b}{ad-bc} \\ \frac{-c}{ad-bc} &\frac{a}{ad-bc} \end{bmatrix}$

Tebukti bahwa $(M_{2x2},+)$ merupakan Grup.

Sekarang kita buktikan apakah grup abelian?
$M_1 +M_2=\begin{bmatrix}a_1 &b_1 \\ c_1 &d_1 \end{bmatrix}+\begin{bmatrix}a_2 &b_2 \\ c_2 &d_2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}a_1+a_2 &b_1+b_2 \\ c_1+c_2 &d_1+d_2 \end{bmatrix}$
$M_2 +M_1=\begin{bmatrix}a_2 &b_2 \\ c_2 &d_2 \end{bmatrix}+\begin{bmatrix}a_1 &b_1 \\ c_1 &d_1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}a_2+a_1 &b_2+b_1 \\ c_2+c_1 &d_2+d_1 \end{bmatrix}$

Karena $\begin{bmatrix}a_1+a_2 &b_1+b_2 \\ c_1+c_2 &d_1+d_2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}a_2+a_1 &b_2+b_1 \\ c_2+c_1 &d_2+d_1 \end{bmatrix}$ maka $(M_{2x2},+)$ merupakan Grup Abelian (komutatif).

Sumber: Sukanto,Drs.2008.Struktur Aljabar I.Garut.STKIP Garut