Soal dan Jawaban Uji Komprehensif - KAPSEL SMA

Ujian Komprehensif

Priode November 2013

                                       Rumpun Mata Kuliah              : Kapita Selekta Matematika SMA

                                       Program Studi                       : Pendidikan Matematika

                                       Waktu                                   : 60 menit

                                       Hari/Tanggal                          : Sabtu, 30 November 2013

                                       Dosen                                   : Tim Dosen

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Kerjakan semua soal di bawah ini!

1. Tentukan luas daerah dan keliling lingkaran yang dibatasi oleh lingkaran yang memiliki persamaan: x² + y² -10x = 0 dan x² + y² -100x = 0

Kunci Jawaban:

Lingkaran 1
x² + y² -10x = 0
untuk menjadi x²-10x dengan kuadrat sempurna
(x-5)²-25, karena bentuknya x² + y² -10x = 0 maka (x²-5)²- 25 + y² = 0
(x-5)²+ y² = 0+25
(x-5)²+ y² = 25
Karena bentuk persamaan bentuk persamaan lingkaran dengan pusat A(a,b) dan jari-jari r adalah (x-a)²+(y-b)² = r², maka
r = 5
x = 5
y = 0
pusat di (5,0) dan r = 5
Luas lingkaran = π.r² = 3,14 . 5²= 78,5
Keliling lingkaran = 2.π.r = 2.3,14.5 = 31,4

Lingkaran 2
x² + y² -100x = 0
(x-50)²+ y² = 100
jadi
r = 10
x = 50
y = 0
pusat di (50,0) dan r = 10
Luas lingkaran = π.r² = 3,14 . 10²= 314
Keliling lingkaran = 2.π.r = 2.3,14.10 = 62,8

Luas daerah yang dibatasi berarti : Luas Lingkaran 2 - Luas Lingkaran 1 = 314 - 78,5 = 235,5
Keliling lingkaran yang dibatasi berarti : Keliling Lingkaran 2 - Keliling Lingkaran 1 = 62,8 - 31,4 = 31,4

2. Hitunglah nilai limit di bawah ini!
   $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\tan 4x-\sin4x}{\sin2x-\sin4x}$

Kunci Jawaban:

Dengan menggunakan aturan L'Hospital maka
$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\tan 4x-\sin4x}{\sin2x-\sin4x}$
$=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{4sec^2 4x -4cos4x}{2cos2x-4cos4x}$
$=\frac{4sec^2 4.0 -4cos4.0}{2cos2.0-4cos4.0}$
$=\frac{4sec^2 0 -4cos0}{2cos0-4cos0}$
$=\frac{4-4}{2-4}$
$=\frac{0}{-2}=0$3.

3. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan berikut:
$(x^2-3x+1)^{x^2+2x-8}=(x^2-3x+1)^{2x+3}$

Kunci Jawaban:

$(x^2-3x+1)^{x^2+2x-8}=(x^2-3x+1)^{2x+3}$
dengan menggunakan aturan eksponen maka
$x^2+2x-8=2x+3$
$x^2+2x-2x-8-3=0$
$x^2-11=0$
dengan pemaktoran jadi
$(x-\sqrt{11})(x+\sqrt{11})$
didapat
$ x=\sqrt{11}$ atau $x=-\sqrt{11}$
jadi HP {$-\sqrt{11},\sqrt{11}$}