Soal dan Jawaban Uji Komprehensif - Pengayaan

Ujian Komprehensif

Priode November 2013

                                       Rumpun Mata Kuliah              : Pengayaan

                                       Program Studi                       : Pendidikan Matematika

                                       Waktu                                   : 60 menit

                                       Hari/Tanggal                          : Sabtu, 30 November 2013

                                       Dosen                                   : Tim Dosen

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Kerjakan semua soal di bawah ini!
1. Diketahui S dan S' adalah basis di R², dimana :
    S = {(-1,3),(-2,2)} dan S' = {(3,2),(1,2)}
    Jika $[v]_s=\begin{bmatrix} 2\\ -1 \end{bmatrix}$, tentukan $[v]_{s'}$ !

Kunci Jawaban:

$[v]_{s'} = P . [v]_s$
$P=\left [ [a_1]_{s'} \vdots [a_2]_{s'}  \right ]$

Misal a₁ = (-1,3)
          a₂ = (-2,2)
          b₁ = (3,2)
          b₂ = (1,2)

⚫ $a_1=k_1b_1+k_2b_2$
     $(-1,3)=k_1(3,2)+k_2(1,2)$
     $(-1,3)=3k_1+k_2,2k_1+2k_2$

Didapat SPL
$3k_1+k_2=-1$
$2k_1+2k_2=3$

Determinan SPL (misal A)
$det(A)=\begin{vmatrix}3 &1 \\ 2 &2 \end{vmatrix}=4$  

Dengan aturan Cramer
$\begin{pmatrix}3 &1 \\ 2 &2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}k_1\\ k_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\ 3\end{pmatrix}$
$det(k_1)=\begin{vmatrix}-1 & 1\\ 3 & 2\end{vmatrix}=-2-3=-5$
$det(k_2)=\begin{vmatrix}3 & -1\\ 2 & 3\end{vmatrix}=9-(-2)=11$

maka
${\color{Blue} k_1}=\frac{\begin{vmatrix}-1 &1 \\ 3 &2 \end{vmatrix}}{4}=-\frac{5}{4}$
${\color{Blue} k_2}=\frac{\begin{vmatrix}3 &-1 \\ 2 &3 \end{vmatrix}}{4}=\frac{11}{4}$

$\therefore [a_1]_{s'}=\begin{bmatrix}\frac{-5}{4}\\ \frac{11}{4}\end{bmatrix}$

⚫ $a_2=l_1b_1+l_2b_2$
     $(-2,2)=k_1(3,2)+k_2(1,2)$
     $(-2,2)=3k_1+k_2,2k_1+2k_2$

Didapat SPL
$3k_1+k_2=-2$
$2k_1+2k_2=2$

$det(A)=4$
dengan aturan Cramer didapat
${\color{Blue} l_1}=\frac{\begin{vmatrix}-2 &1 \\ 2 &2 \end{vmatrix}}{4}=\frac{-6}{4}=-\frac{3}{2}$
${\color{Blue} l_2}=\frac{\begin{vmatrix}3 &-2 \\ 2 &2 \end{vmatrix}}{4}=\frac{10}{4}=\frac{5}{2}$

$\therefore [a_2]_{s'}=\begin{bmatrix}\frac{-3}{2}\\ \frac{5}{2}\end{bmatrix}$

maka
${\color{Blue} [v]_{s'} = \begin{bmatrix}\frac{-5}{4} &\frac{-3}{2} \\ \frac{11}{4} &\frac{5}{2}\end{bmatrix} . \begin{bmatrix}2\\ -1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\frac{-2}{2}\\ \frac{6}{2}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-1\\ 3\end{bmatrix}}$Bukti

2.Buktikan limit fungsi berikut berdasarkan definisi limit fungsi!
   $\lim_{x\rightarrow \propto }(5x+5)=\propto$

Kunci Jawaban:

 >  Misal x ∈ (1,∞) atau 1 < x < ∞
∃ k(α) > 1 ∃ jika x > k maka f(x) > α
↔ 5x + 5 > α
↔ 5x  > α - 5
$\leftrightarrow x>\frac{\alpha-5}{5}$
$\therefore \exists k(\alpha)=\frac{\alpha-5}{5}>1$
↔ α - 5 > 5
↔ α >10

Bukti Formal:
Misal : x ∈ (1,∞) atau 1 < x < ∞
$\forall \alpha \in R, \alpha>10,\exists k(\alpha)=\frac{\alpha-5}{5}>1$
∃ jika x > k, maka 5x + 5 > α

 

3. Buktikan bahwa setiap subgrup dari grup Abelian adalah subgrup normal!

Kunci Jawaban:

Misalkan H Subgrup dalam grup G,  maka untuk setiap g ∈ G
$gHg^{-1}=\left \{ ghg^{-1}|h\in H \right \}$
$=\left \{ gg^{-1}h|h\in H \right \}$
$=\left \{ eh|h\in H \right \}$
$=\left \{ h|h\in H \right \}=H$
Jadi H subgrup normal dalam G. Terbukti