Pembuktian Sifa-Sifat Sederhana Grup - Struktur Aljabar

Sifat-Sifat Sederhana Grup (blogaritma.net)

Teorema 1 : Identitas itu tunggal (unik)
Jika G suatu Grup, maka elemen identitas pada grup adalah unik/tunggal.

Misalnya: identitas dari (1,+) yaitu 0 → 1 + 0 = 0 + 1 = 1 (tidak ada identitas lain selain 0)
                  identitas (2,✖) yaitu 1 → 2 ✖ 1 = 1 ✖ 2 = 2 (tidak ada identitas lain selain 1)

Bukti:
Pembuktian dengan kontradiktif
Andaikan identitas dari grup G tidak unik (lebih dari satu) yaitu u₁ dan u₂ dimana u₁ ≠ u₂, maka:
u₁ = u₁ o u₂    (karena u₂ merupakan identitas operasi o dalam G)
     = u₂            (karena u₁ juga merupakan identitas operasi o dalam G)
Dengan demikian u₁ = u₂, hal ini kontradiktif, karena u₁ ≠ u₂
Oleh karena itu identitas suatu grup G tidak mungkin lebih dari satu atau dua identitas tunggal.

Teorema 2 : Invers itu tunggal (unik)
Jika G suatu grup, maka invers dari elemen a ∈ G adalah unik/tunggal

Misalnya : identitas dari (2,✖) yaitu 1/2 → 2 ✖ 1/2 = 1/2 ✖ 2 = 1 (tidak ada invers lain selain 1/2)

Bukti:
Pembuktian dengan kontradiktif
Andaikan G suatu grup dan invers dari elemen a ∈ G adalah tidak unik (lebih dari satu) yaitu b dan c dimana b ≠ c sedangkan identitas operasi o dalam G adalah u, maka
b = u o b              (karena u identitas operasi o dalam G)
   = (c o a) o b      (karena c invers dari a ∈ G)
   = c o (a o b)      (karena operasi o dalam G berlaku asosiatif)
   = c o u               (karena b juga invers dari a ∈ G)
   = c                     (karena u merupakan identitas operasi o dalam G)

Dengan demikian b = c, hal ini kontradiktif karena b ≠ c
Oleh karena invers dari elemen a ∈ G tidak mungkin lebih dari satu atau invers elemen a ∈ G adalah unik.

Teorema 3 : Hukum Kansel (cancel)
Misal G suatu grup, dan a,b,c ∈ G maka:

• Jika a o b = a o c maka b = c, dan
• Jika b o a = c o a maka b = c

Bukti : a o b = a o c maka b = c
$a\circ b=a\circ c$                                          (diketahui)
$a^{-1}\circ (a\circ b=a^{-1}\circ (a\circ c)$       (operasikan $a^{-1}\in G$ masing-masing dari sebelah kiri)
$(a^{-1}\circ a)\circ b=(a^{-1}\circ a)\circ c$      (karena operasi o dalam G berlaku asosiatif)
$u\circ a=u\circ c$                                          (karena $a^{-1}$ invers $a\in G$)
$b=c$                                                             (karena u merupakan identitas operasi o dalam G)

Jadi terbukti : Jika a o b = a o c maka b = c

Bukti : Jika b o a = c o a maka b = c 
$b\circ a=c\circ a$                                          (diketahui)
$(a\circ b)\circ a^{-1} =(a\circ c)\circ a^{-1}$       (operasikan $a^{-1}\in G$ masing-masing dari sebelah kanan)
$(a^{-1}\circ a)\circ b=(a^{-1}\circ a)\circ c$      (karena operasi o dalam G berlaku asosiatif)
$u\circ a=u\circ c$                                          (karena $a^{-1}$ invers $a\in G$)
$b=c$                                                             (karena u merupakan identitas operasi o dalam G)

Teorema 4 : 
Jika G suatu grup dengan operasi o dan a,b ∈ G, maka "Jika a o b = u maka $a=b^{-1}$ dan $b=a^{-1}$

Bukti:
$a\circ b=u$                                                     (diketahui)
$(a\circ b)\circ b^{-1}=u\circ b^{-1}$                 (operasikan $b^{-1}\in G$ masing-masing dari sebelah kanan)
$a\circ (b\circ b^{-1})=u\circ b^{-1}$                 (karena operasi o dalam G berlaku asosiatif)
$a\circ u=b^{-1}$                                              (karena $b^{-1}$ invers $b\in G$)
$a\circ u=b^{-1}$                                              (karena u merupakan identitas operasi o dalam G)

Jadi terbukti bahwa "Jika a o b = u maka $a=b^{-1}$ dan $b=a^{-1}$

Teorema 5 : 
Misal G suatu grup, dan a,b ∈ G maka persamaan-persamaan a o x = b dan y o a = b mempunyai penyelesaian tunggal

Bukti a o x = b mempunyai penyelesaian tunggal:
Karena a ∈ G maka $a^{-1}\in G$       
$a\circ x = b$                                           (diketahui)
$a^{-1}\circ (a\circ x) =a^{-1}\circ b$          (operasikan $a^{-1}\in G$ masing-masing dari sebelah kiri)
$(a^{-1}\circ a)\circ x =a^{-1}\circ b$           (karena operasi o dalam G berlaku asosiatif)
$u\circ x =a^{-1}\circ b$                             (karena $a^{-1}$ invers $a\in G$)
$x =a^{-1}\circ b$                                      (karena u merupakan identitas operasi o dalam G)

Jadi terbukti bahwa a o x = b mempunyai penyelesaian tunggal

Bukti y o a = b mempunyai penyelesaian tunggal:
Karena a ∈ G maka $a^{-1}\in G$       
$y\circ a = b$                                           (diketahui)
$(y\circ a) \circ a^{-1} = b\circ a^{-1}$        (operasikan $a^{-1}\in G$ masing-masing dari sebelah kanan)
$y\circ (a\circ a^{-1}) =a^{-1}\circ b$         (karena operasi o dalam G berlaku asosiatif)
$y\circ u =a^{-1}\circ b$                             (karena $a^{-1}$ invers $a\in G$)
$y =a^{-1}\circ b$                                     (karena u merupakan identitas operasi o dalam G)

Jadi terbukti bahwa y o a = b mempunyai penyelesaian tunggal

Teorema 6:
Misal G suatu grup, dan a,b ∈ G
(i) $(a\circ b)^{-1}=b^{-1}\circ a^{-1}$ dan
(ii)$(a^{-1})^{-1}=a$

Bukti (i):
Karena a,b ∈ G dan G suatu grup, maka a o b ∈ G, dan karena a o b ∈ G maka $(a\circ b)^{-1}\in G$, sehingga
$(a\circ b)\circ (a\circ b)^{-1}=u$
Kemudian kita operasikan $a\circ b$ dengan $b^{-1}\circ a^{-1}$
$(a\circ b)\circ (b^{-1}\circ a^{-1})=a\circ [b\circ (b^{-1}\circ a^{-1}]$
                                               $=a\circ [(b\circ b^{-1})\circ a^{-1}]$
                                               $=a\circ [u\circ a^{-1}]$
                                               $=a\circ a^{-1}$
                                               $=u$
Dengan demikian $(a\circ b)\circ(b^{-1}\circ a^{-1})=u$
Karena $(a\circ b)\circ (a\circ b)^{-1}=u$ dan $(a\circ b)\circ (b^{-1}\circ a^{-1})=u$ maka
$(a\circ b)\circ (a\circ b)^{-1}=(a\circ b)\circ (b^{-1}\circ a^{-1})$
$(a\circ b)^{-1}=(b^{-1}\circ a^{-1})$

Jadi terbukti $(a\circ b)^{-1}=(b^{-1}\circ a^{-1})$

Bukti (ii):
Karena a ∈ G dan G suatu grup, maka $a^{-1}\in G$, maka $a\circ a^{-1}=u$
Karena $a\circ a^{-1}=u$ dan G suatu grup, maka $(a^{-1})^{-1}\in G$ maka $(a^{-1})^{-1}\circ a^{-1}=u$
Karena $(a^{-1})^{-1}\circ a^{-1}=u$ dan $a\circ a^{-1}=u$, maka $(a^{-1})^{-1}=a$

Jadi terbukti
$(a^{-1})^{-1}=a$

Definisi I:
Jika G suatu grup dengan operasi o,a ∈ G, dan m bilangan bulat positif, maka:
$a^m=a\circ a\circ a\circ a ... \circ a$  sebanyak m faktor
$a^0=u,$ yaitu elemen identitas
$a^{-m}=(a^{-1})^m=a^{-1}\circ a^{-1}\circ a^{-1}\circ ... \circ a^{-1}$  sebanyak m faktor

Catatan: Jika G grup aditif dengan operasi penjumlahan, a ∈ G dan m bilangan bulat positif maka
ma = a + a + a + ... + a     sebanyak m faktor
0a = 0, yaitu elemen identitas
-ma = m(-a) = (-a) + (-a) + (-a) + ... + (-a)  sebanyak m faktor

Teorema 7
Jika G suatu grup dengan operasi o,a ∈ G dan m,n bilangan-bilangan bulat positif, maka:
(1)$a^m\circ a^n = a^{m+n}$
(2)$(a^m)^n=a^{mn}$

Bukti (1):
$a^m\circ a^n=\underset{m}{(a\circ a\circ a\circ ... \circ a)}\circ \underset{n}{(a\circ a\circ a\circ ... \circ a)}$
$=\underset{m+n}{a\circ a\circ a\circ ... \circ a\circ a\circ a\circ ... \circ a}$
$=a^{m+n}$

Jadi terbukti $a^m\circ a^n = a^{m+n}$

Bukti (2): 
$(a^m)^n=a^m\circ a^m\circ a^m\circ ... \circ a^m$ sepanjang n faktor
$=\underset{n..faktor}{\left ( \underset{m}{a\circ a\circ a\circ ... \circ a} \right )\circ \left ( \underset{m}{a\circ a\circ a\circ ... \circ a} \right )\circ ... \left ( \underset{m}{a\circ a\circ a\circ ... \circ a} \right )}$
$=\underset{mn}{\left ( a\circ a\circ a\circ ... \circ a \right )}$
$=a^{mn}$

Jadi terbukti $(a^m)^n=a^{mn}$

Sumber : Sukanto, Drs. 2008.STRUKTUR ALJABAR I.Garut.STKIP Garut