Nilai Mutlak dan Pembuktian Teorema

Definisi Nilai Mutlak 

$|a|=\begin{Bmatrix} a;a>0\\ 0;a=0\\ -a;a<0 \end{Bmatrix}$

Teorema-Teorema
1. $|ab|=|a||b|,\forall a,b\in \mathbb{R}$
2. $|a|^2=a,\forall a\in \mathbb{R}$
3. Jika $c\geq 0$, maka $|a|\leq c$ jika dan hanya jika $-c\leq a\leq c$
4. $-|a|\leq a\leq |a|,\forall \in \mathbb{R}$

Bukti

1. Jika $a=b=0$, maka terbukti jika $a> 0$ dan $b> 0$ maka $ab> 0$ sehingga $|ab|=ab=|a||b|$. Jika $a>0$ dan $b> 0$ maka $ab< 0$ sehingga $|ab|=-ab=a(-b)=|a||b|$. Terbukti!

2. Karena $a^2\geq 0$ maka $a^2=|a^2|=|aa|=|a||a|=|a|^2$. Terbukti!

3. Jika $|a|\leq c$, maka $a\leq c$ dan $-a\leq c$ yang berarti $-c\leq a\leq c$. Sebaliknya jika $-c\leq a\leq c$ maka diperoleh $a\leq c$ dan $-a\leq c$. Jadi $c=|a|$. Terbukti!

4. Coba sendiri!

Sumber: Catatan Kuliah