Persamaan Diferensial Homogen Tingkat 2 (PDHT2)

PDHT2 - Blogaritma

A. Persamaan Diferensial Homogen Tingkat 2 (PDHT2)
Persamaan diferensial tingkat 2 (orede 2) memiliki bentuk umum sebagai berikut:

$y''+p(t)y'+q(t)y=g(t)$

Dimana p(t), q(t), dan g(t) adalah fungsi-fungsi kontinu pada interval waktu I dan dimana $y'=\frac{dy}{dt}$

B. Persamaan Homogen dengan Koefisien Konstan
             Yang dimaksud dengan koefisien konstan adalah dengan mengambil fungsi – fungsi p(t) dan q(t) pada bentuk umum di atas dengan nilai konstan, dan jika kita ambil fungsi g(t)=0, maka pernyataan tersebut dinamakan dengan Persamaan Homogen.
             Jadi, dalam hal ini kita dapatkan bentuk baku dari persamaan diferensial homogen tingkat 2 (PDHT2) yaitu $ay''+by'+cy=0$ , dimana a,b,c adalah masing – masing anggota real. Untuk menyelesaikan Persamaan Diferensial (PD) tersebut, akan sangat bergantung pada akar – akar karakteristik (r) pada persamaan karakteristiknya (PK).

Terdapat 3 kondisi untuk akar – akar karakteristik tersebut, yaitu :

Kondisi 1 : jika $r_1 \neq r_2, r_1,r_2\in R$, maka Solusi Umum (SU)-nya adalah:

$y=C_1e^{r_1 x}+C_2e^{r_2 x}$

Kondisi 2 : jika $r_1 = r_2 = r, r\in R$, maka SU adalah:

$y=(C_1 x+C_2)e^{rx}$

Kondisi 3 : jika $r_1\neq r_2, r_1,r_2$ bilangan kompleks dengan $r_1=p+q_i$ dan $r_2=p-q_i$, dimana $p,q\in R$ dan i = imaginer yang berlaku $i=\sqrt{-1}\rightarrow i^2=-1$, maka SU adalah:

$y=e^{Px}(C_1 \cos qx+C_2 \sin qx)$

Contoh:
Carilah Solusi Umum (SU) dari PDHT2 di bawah ini!
1.  6y''-y'-y=0
Penyelesaian:
Persamaan Karakteristik (PK) : $6r^2-r-1=0$
$(3r+1)(2r-1)=0$
$r_1=-\frac{1}{3}, r_2=\frac{1}{2}$

SU: $y=C_1e^{r_1 x}+C_2 e^{r_2 x}$
$y=C_1 e^{-\frac{1}{3}x}+C_2 e^{\frac{1}{2}x}$

Latihan Soal!
Carilah Solusi Umum (SU) dari PDHT2 di bawah ini !
1. y'' + 2y' - 8y = 0
2. y'' + 5y' = 0
3. y'' -2y' - 2y = 0
4. y'' - 4y = 0
5. y'' - 2y' + 10y = 0

C. Solusi Khusus
         Untuk mencari nilai $C_1$ dan $C_2$ pada solusi umum, dapat dilakukan bila diketahui nilai awalnya. Solusi atas permasalahan nilai awal di atas tersebut dinamakan solusi khusus (yk).

Contoh:
1. y'' + 4y' + 3y = 0 dengan y(0) = 2; y'(0) = -1
Penyelesaian:
PK : $r^2+4r+3=0$
$(r+3)(r+1)=0$
$r_1=-3, r_2 = -1$
SU : $y=C_1 e^{-3x}+C_2 e^{-x}$ ......................... (*)

untuk mencari yk, sebagai berikut:
$y(0)=2$
$y(0)=C_1 e^{-3(0)}+C_2 e^{-(0)}$
$2=C_1 + C_2$ .......................... (1)
$y'=-3C_1 e^{-3x}-C_2 e^{-x}$
$y'(0)=-1$
$y'(0)=-3C_1 e^{-3(0)}-C_2 e^{-(0)}$
$-1=-3C_1 - C_2$  .......................... (2)

Dari (1) dan (2) dapat dicari $C_1, C_2$, sbb:
$c_1 + c_2 = 2$
$-3c_1 - c_2 = -1$
------------------------ +
$-2c_1=1$
$c_1=-\frac{1}{2}, c_2=\frac{5}{2}$

Sehingga didapat solusi khusus dari (*), yaitu:
$yk=-\frac{1}{2}e^{-3x}+\frac{5}{2}e^{-x}$

Latihan Soal :
1. 6y'' - 5y'y = 0 dengan y(0) = 4 ; y'(0) = 0
2. y'' + y' - 2y = 0 dengan y(0) = 1; y'(0) = 1
3. y'' + 5y' +3y = 0 dengan y(0) = 1; y'(0) = 0
4. 4y'' - y' = 0 dengan y(-2) = 1; y'(-2) = -1
5. 2y'' + y' - 4y = 0 dengan y(0) = 0; y'(0) = 1

Sumber : Catatan Kuliah & Diktat Kuliah Persemaan Diferensial - Drs. Basuki