PDLT1D1 DALAM BENTUK y'+yP(x)=Q(x) atau dy/dx + yP(x)=Q(x)

Dengan P(x) dan Q(x) masing-masing fungsi dari x. Untuk mencari SU dari PD tersebut di atas dilakukan dengan dua cara, yaitu:
1. Cara Bernoulli
2. Cara Lagrange
Kedua cara tersebut di atas memiliki formula SU sebagai berikut:

$y=e^{-\int P(x)dx}\left \{ \int Q(x).e^{\int P(x)dx}dx+C \right \}$

Contoh:
Carilah SU dari PD di bawah ini:
1.$\frac{dy}{dx}+2xy=4x$
2.$(x-2)y'-y=2(x-2)^3$
3.$(x+1)y'=2y+(x+1)^4$
4.$\frac{dy}{dx}+y\cot x=5e^{\cos x}$
5.$\sin y.y'=\cos x(2\cos y-\sin^2 x)$

Baca juga materi sebelumnya Cara Mengerjakan Persamaan Diferensial Eksak (PDE)


Penyelesaian:
1.$\frac{dy}{dx}+2xy=4x \rightarrow \frac{dy}{dx}+yP(x)=Q(x);$
$P(x)=2x$
$Q(x)=4x$

SU:
$y=e^{-\int P(x)dx}\left \{ \int Q(x).e^{\int P(x)dx}dx+C \right \}$
$y=e^{-\int 2x dx}\left \{ \int 4x.e^{\int 2x dx}dx+C \right \}$
$y=e^{-x^2}\left \{ \int 2.e^{x^2}d(x^2)+C \right \}$
$y=e^{-x^2}\left \{2.e^{x^2}+C \right \}$
$y=2+Ce^{-x^2}$

Jadi, $y=2+Ce^{-x^2}$, merupakan SU dari PD tersebut di atas.

Selebihnya coba sendiri!

Soal Latihan:
1. Tentukan penyelesaian persamaan diferensial tak homogen $y'+\frac{1}{x}y=-\frac{4}{x^2}$, tentukan pula penyelesaian khususnya, jika diberikan nilai awal $y(1)=0$
2. Tentukan solusi umum persamaan diferensial $\frac{dy}{dt}-3y=e^{2t},y(0)=3$ (jawaban:solusinya $y(t)=4e^{3t}-e^{2t})$
3. Tentukan solusi umum persamaan diferensial $(t^2+1)\frac{dy}{dt}+3ty=6t$. Kemudian hitung $\lim_{t\rightarrow \infty}y(t)$. (jawaban: SU $y(t)=2+c(t^2+1)^{-\frac{3}{2}}$
4. Tentukan solusi persamaan diferensial $x\frac{dy}{dx}+2y=4x^2,y(1)=2$. (jawaban: solusinya : $y(x)=x^2+\frac{1}{x^2}$, dengan x>0)

Baca juga materi sebelumnya Cara Mengerjakan Persamaan Diferensial Linear Tingkat 1 Derajat 1 (PDLT1D1)


Sumber : Catatan Kuliah & Diktat Kuliah Persemaan Diferensial - Drs. Basuki