Pembuktian Ketaksamaan Cauchy

Ketaksamaan Cauchy

Jika n ∈ N dan $a_{1}, … , a_{n},b_{1}, … ,b_{n} \in R$ maka

$(a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+ … + a_{n}b_{n})^{2} ≤ (a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + … + a_{n}^{2})(b_{1}^{2} + b_{2}^{2} + … + b_{n}^{2}$ atau

$ \left (\sum_{i=1}^{n}a_ib_i  \right )^2\leq \left (\sum_{i=1}^{n}a_i  \right )\left (\sum_{i=1}^{n}b_i  \right )$

Jika tidak semua $b_1=0$ maka

$ \left (\sum_{i=1}^{n}a_ib_i  \right )^2\leq \left (\sum_{i=1}^{n}a_i^2  \right )\left (\sum_{i=1}^{n}b_i^2  \right )$

Jika dan hanya jika terdapat s ∈ R sedemikian sehingga $a_1 = sb_1,a_2 = sb_2, … ,a_n = sb_n$

Bukti:

Didefinisikan F : R → R

$F(t) = (a_1-b_1)^2 + (a_2+b_2)^2 + … + (a_n + b_n)^2,t \in R$

Jelas bahwa F(t) ≥ 0 untuk setiap t ∈ R

$F(t) = (a_1^2-2ta_1b_1 + t^2b_1^2) + (a_2^2-2ta_2b_2 + t^2b_2^2) + … + (a_n^2-2ta_nb_n + t^2b_n^2)$

$= (a_1^2 + a_2^2 + … +a_n^2) – 2t(a_1b_1 + a_2b_2 + … + a_nb_n) + t^2(b_1^2 + b_2^2 + … + b_n^2)$

$=\left ( \sum_{i=1}^{n}a_i^2 \right )-2t\left ( \sum_{i=1}^{n}a_ib_i \right )+t^2\left ( \sum_{i=1}^{n}b_i^2 \right )$

Ingat bahwa persamaan A + 2Bt + Ct$^2$ ≥ 0 jika dan hanya jika $2B^2-4AC \leq 0$, yang berakibat $B^2 \leq AC $. Sehingga diperoleh bahwa:

$ \left (\sum_{i=1}^{n}a_ib_i  \right )^2\leq \left (\sum_{i=1}^{n}a_i^2  \right )\left (\sum_{i=1}^{n}b_i^2  \right )$

Terbukti

 

Sumber : Catatan Kuliah