Pembuktian Ketaksamaan Bernoulli

Jika x > -1 maka ∀n⋲ℕ berlaku (1+x)ⁿ ≥ 1 + nx

Bukti :

Pembuktian dengan Induksi Matematik

1. Benar untuk n = 1

 (1+x)¹ = 1+x       (Benar)

2. Asumsikan (1+x)ⁿ ≥ 1+nx berlaku n = k

(1+x)$^k$ ≥ 1+kx

3. Akan dibuktikan (1+x)ⁿ ≥ 1+nx berlau untuk n = k+1

(1+x)$^{k+1}$ ≥ 1+ (k+1)x      

Bukti:
(1+x)$^{k+1}$ = (1+x)$^k$ . (1+x) ≥ (1+kx)(1+x)
                    = 1 + kx + x + kx²
                    = 1 + (k+1)x + kx²

Karena kx² ≥ 0, maka (1+x)$^{k+1}$ ≥ 1+ (k+1), yang berarti benar untuk n = k+1. Jadi terbukti bahwa (1+x)ⁿ ≥ 1 + nx untuk n ⋲ ℕ

Sumber : Catatan Kuliah