Teorema Kerapatan (Eksistensi Akar 2)

Ada bilangan riil positif x sehingga x² = 2

Teorema Kerapatan:
Jika x dan y bilangan riil sehingga x < y, maka ∃ bilangan rasional r sehingga x < r < y.

Bukti:
Misalkan x > 0. Ambil z = y - x > 0. Dengan sifat Archimedes, ∃n ∈N sehingga 1/n < y - x = z
Jadi 1 < ny - nx atau nx + 1 < ny
Untuk nx > 0, maka ∃n ∈N sehingga m - 1 ≤ nx < m atau m ≤ nx + 1 < m + 1
Oleh karena itu : nx < m ≤ nx + 1 < ny. Jadi $x< \frac{m}{n} <  y$.

Akibat:
Jika x dan y bilangan riil sehingga x < y, maka ∃ bilangan irasional p sehingga x < p < y

Bukti:
Dari x < y maka $\frac {x}{\sqrt{2}} < \frac{y}{\sqrt{2}}$ yang masing-masing di \Re. Menurut teorema kerapatan, ∃ bilangan rasional r sehingga $\frac {x}{\sqrt{2}} < r < \frac{y}{\sqrt{2}}$. Jadi $x< r\sqrt{2}< y$

Sumber: Catatan Kuliah