Kekongruenan dan Pembahasan

Definisi
Jika m suatu bilangan bulat positif membagi a-b maka dikatakan kongruen terhadap b modulo m dan ditulis a≡b (mod m). jika m tidak membagi (a-b) maka dikatakan a tidak kongruen terhadap b modulo m ditulis a≢b (mod m)
Tambahan:
Bentuk umum : ax + b ≡ c (mod m)

Simbolik :

a ≡ b (mod m) ↔ m|a - b  ∧ a ≢ b (mod m) ↔ m⫮a-b 

Contoh:
1. Carilah nilai x dari 2x + 4 ≡ 2 (mod 6)
Jawab:
2x + 4 ≡ 2 (mod 6)
6 | 2x + 4 -2 → ∃k∈B∋2x + 2 = 6k
2x = 6k -2 dibagi 2 jadi x = 3k – 1
Untuk
k = 0 → 3.0-1 = -1
k = 1 → 3.1-1 = 2
k = 2 → 3.2-1 = 5
k = 3 → 3.3-1 = 8
∴ x ∈ { -1,2,5,8,...}


2. Tentukan sisa jika 3¹⁹⁹⁰ jika dibagi 41.
Penyelesaian :
3¹⁹⁹⁰ ( mod 41 ) ≡ 3^{4 × 497 + 2} ( mod 41)
≡ (3⁴)⁴⁹⁷ × 3² ( mod 41)
≡ ( 2 × 41 – 1 )⁴⁹⁷ × 9 ( mod 41 )
≡ (-1)⁴⁹⁷ × 9 ( mod 41 )
≡ -9 ( mod 41 )
≡ ( 41 – 9 ) ( mod 41 )
≡ 32 ( mod 41 )
Jadi sisa 3¹⁹⁹⁰ dibagi oleh 41 adalah 32.
 
3. Tentukan angka terakhir dari 777³³³
Penyelesaian:
Mencari angka terakhir = menentukan sisa pembagian oleh 10.
777³³³ ≡ ( 77 × 10 + 7)³³³ ( mod 10 )
≡ 7³³³ ( mod 10 )
≡ 7^{2 × 166+1} ( mod 10)
≡ (7²)¹⁶⁶ × 7 ( mod 10)
≡ 9^{2 × 83} × 7 ( mod 10 )
≡ (81)⁸³ × 7 ( mod 10 )
≡ 1⁸³ × 7 ( mod 10)
≡ 7 ( mod 10), jadi angka terakhir dari 777³³³ adalah 7.
 
Latihan
1. Carilah nilai x dari
a. 7x ≡ 3 ( mod 6 )
b. 20 ≡ x ( mod 8 )
 
Persamaan Kuadrat Kongruensi
Bentuk Umum
ax² +bx + c ≡ 0 (mod m)
Contoh:
1. X² + 6x + 8 ≡ 0 (mod 8)
(x + 2)(x + 4) ≡ 0 (mod 8)
∎ x + 2 ≡ 0 (mod 8)
8 | x +2 → ∃k∊ B ∋ x + 2 = 8k
x = 8k – 2
untuk
k-1 = -10
k1 = 6
k2 = 14
k0 = -2

∎ x + 4 ≡ 0(mod 8)
→∃k ∊ B ∋ x +1 = 8k 
8 | x + 4
x = 8k – 4
untuk k0 = -4
k1 = 4
k2 = 12

Sumber : Dr.Nanang.2010.Teori Bilangan.STKIP Garut