Pembuktian Teorema Ring Operasi Penjumlahan dan Pengurangan

TEOREMA
Misal R adalah ring dengan operasi penjumlahan dan perkalian yang berlaku dalam R, maka:

1. a. z = z. a = z, "a Î R dan z elemen nol dalam R

Bukti :
      a . z = a . z (refleksif)                      z . a = z . a (refleksif)
     a(z+z) = a.z + z (elemen nol)       (z+z)a = z.a + z (elemen nol)
     az + az = a.z + z (distributif)          z.a + z.a = z.a + z (distributif)
     a.z = z ( hukum cancle)                  z.a = z (hukum cancle)
didapat
    a . z = z . a = a

2. –(-a) = a dan –(a + b) = (-a) + (-b), "a,b Î R 

Bukti:
    -(a+b) + (a+b) = z
     (-a) + (-b) + (a+b) = (-a) + (-b) + b + a
                                     = (-a) + z + a
                                     = -a + a
                                     = z
-(a+b) + (a+b) = (-a) + (-b) + (a+b)
              -(a+b) = (-a) + (-b)

3. a(-b) = (-a) b = -(ab), "a,b Î R 

Bukti:
     a(-b) = -(ab)                                  (-a)b = -(ab)
     -(ab) + (ab) = z                -(ab) + (ab) = z
      a(-b) + (ab) = a(-b + b) (-a)b + (ab) = (-a + a)b
                            = a . z                               = z. B
                            = z                                     = z
-(ab) + (ab) = a(-b) + ab     -(ab) + (ab) = (-a)b + (ab)
           -(ab) = a(-b)                           -(ab) = (-a)b
  a(-b) = (-a)b = -(ab)

4. (-a)(-b) = ab. "a,b Î R 

       a(-b) + ab = z
       a(-b) + (-a)(-b) = (a+(-a))(-b)
                                  = z(-b)
                                  = z
a(-b) + ab = a(b) + (-a)(-b)  
             ab = (-a)(-b)

5. a(b – c) = ab – (ac) dan (b – c) a = ba – (ca), "a,b,c Î R 

Belum selesai

Sumber : Catatan Kuliah SA II