Himpunan - Struktur Aljabar

Himpunan (blogaritma.net)

1. Pengertian Himpunan

Ide dari himpunan digunakan dalam matematika secara  luas dan menjadi konsep dasar walaupun tidak didefinisikan secara formal. Kita katakan bahwa suatu himpunan adalah sekumpulan dari objek-objek, dan objek-objek dalam himpunan disebut elemen atau anggota dari himpunan tersebut. Himpunan dalam pengertian matematika anggotanya harus tertentu (well defined) jika tidak maka ia bukan himpunan.

2. Deskripsi Himpunan

a. Notasi Himpunan  

1). Nama untuk himpunan digunakan huruf kapital. Contoh : A, B, C, ..., Z

2). Himpunan dinotasikan dengan tanda kurawal {...}

3). Objek yang dibicarakan disebut dengan anggota (elemen, unsur)

4). Tanda keanggotaan dinyatakan dengan tanda "∈" dan bukan anggota dengan tanda "∉"

5). Banyaknya anggota suatu himpunan disebut dengan bilangan kardinal dan suatu himpunan. Bilangan Kardinal dari suatu himpunan ditulis n(A)

Contoh :

A = {Senin, Selasa, Sabtu}

X = {x ∈ R | 2 ≤ x ≤ 5, R himpunan bilangan real}

Senin ∈ A ; 

3,25 ∈ X

Rabu ∉ A

5,5 ∉ X

n(A) = 3 dan n(X) tak hingga.

2. Definisi Himpunan

Suatu himpunan A adalah himpunan bagian (subset) dari himpunan B, ditulis   A⊂B, bila dan hanya bila setiap elemen dari A adalah juga merupakan elemen dari himpunan B.

Notasi Matematik:

A ⊂ B = { x| jika x ∈ A maka x ∈ B}

Contoh : Misalkan N adalah himpunan bilangan-bilangan asli dan misalkan M himpunan yang dinotasikan dengan {x | x  bilangan-bilangan asli kurang dari 10}. 

Karena setiap elemen dari M adalah juga merupakan elemen dan N, maka M merupakan himpunan bagian dari N , ditulis M ⊂ N.

3. Definisi Himpunan Kosong

Suatu himpunan kosong (null set) adalah suatu himpunan yang tidak memiliki elemen. Himpunan kosong dinotasikan dengan {} atau Ø .
Himpunan kosong merupakan himpunan bagian dari setiap himpunan.

Contoh : Himpunan nama-nama hari dalam satu minggu yang dimulai dengan huruf N, merupakan himpunan kosong.

Contoh : Himpunan manusia di dunia yang tingginya lebih dari 4 meter, Himpunan manusia di dunia yang hidup abadi.

4. Definisi Dua Himpunan Sama

Dua himpunan A dan B dikatakan sama, ditulis  A = B, jika dan hanya jika A⊂B dan B⊂A.

Soal:
Buktikan: Jika A⊂ Ø maka A = Ø

5. Definisi Gabungan Dua Himpunan

Misalkan A dan B dua himpunan. Gabungan (union) dari himpunan A dan B ditulis A ∪ B (baca ”A gabungan B”) adalah himpunan semua elemen yang berada dalam himpunan A atau dalam B atau yang ada di A dan B.

Dinyatakan dengan notasi matematik:
A ∪ B = { x | x ∈ A atau x ∈ B}

6. Definisi Irisan Dua Himpunan

Misalkan A dan B dua himpunan. Irisan (intersection) dari himpunan A dan B ditulis A ∩ B (baca ”A irisan B”) adalah himpunan semua elemen yang berada dalam himpunan A dan B.

Dinyatakan dengan notasi matematik:
A ∩ B = { x | x ∈ A dan x ∈ B}

7. Definisi Pengurangan Dua Himpunan

Misalkan A dan B dua himpunan. Pengurangan dari himpunan A oleh B ditulis A – B adalah himpunan semua elemen yang berada dalam himpunan A tetapi tidak ada dalam himpunan B.

Dinyatakan dengan notasi matematik:
A – B = { x | x ∈ A dan x ∉ B}