Perubahan Basis

Perubahan Basis (blogaritma.net)

Misal S dan S' keduanya basis di R² dengan
S = {(1,2),(3,-1)} dan S' = {(1,-1),(2,3)}

Ambil sebuah vektor w = (2,3) ∈ R² , w direntang oleh S atau S', karena S atau S' merupakan basis di R²

1) Karena w direntang oleh S, maka w dapat dinyatakan sebagai:
     w = k₁(1,2) + k₂(3,-1)
    (2,3) = (k₁ + 3k₂ , 2k₁-k₂)
 
    didapat SPL
    $\left\{\begin{matrix} k_1+3k_2=2\\ 2k_1-k_2=3 \end{matrix}\right.$

    Untuk menemukan k₁ dan k₂ menggunakan aturan Crammer
$k_1=\frac{\begin{vmatrix}2 & 3 \\ 3 &-1 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1 & 3 \\ 2 &-1 \end{vmatrix}}=\frac{-11}{-7}=\frac{11}{7}$
$k_2=\frac{\begin{vmatrix}1 & 2 \\ 2 &3 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1 & 3 \\ 2 &-1 \end{vmatrix}}=\frac{-1}{-7}=\frac{1}{7}$
                                                                                                       
$\therefore w=\frac{11}{7}(1,2)+\frac{1}{7}(3,-1)$

Ket:
notasi $[w]_s$ dibaca matriks koordinat w terhadap s, dimana $[w]_{s}=\begin{bmatrix}\frac{11}{7}\\ \frac{1}{7}\end{bmatrix}$


2) karena w direntang oleh S', maka w dapat dinyatakan sebagai:
   w = k₁(1,-1) + k₂(2,3)
    (2,3) = (k₁ + 2k₂ , -k₁+3k₂)
 
    didapat SPL
    $\left\{\begin{matrix} k_1+2k_2=2\\ -k_1+k_2=3 \end{matrix}\right.$

    Untuk menemukan k₁ dan k₂ menggunakan aturan Crammer
$k_1=\frac{\begin{vmatrix}2 & 2 \\ 3 &3 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1 & 2 \\ -1 &3 \end{vmatrix}}=\frac{0}{5}=0$
$k_2=\frac{\begin{vmatrix}1 & 2 \\ -1 &3 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1 & 2 \\ -1 &3 \end{vmatrix}}=\frac{5}{5}=1$

$\therefore w=0(1,-1)+1(2,3)$
$w=(2,3)$

Maka $[w]_{s'}=\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}$

BAGAIMANA HUBUNGAN  $[w]_{s}$ DENGAN $[w]_{s'}$?

Secara Umum
Perubahan basis di R²  
Misal S dan S' basis di R²
dimana S = {u₁,u₂} dan S' = {v₁,v₂} , ∀ w ∈ R²  

1) Perhatikan basis S = {u₁,u₂}
Vektor di R² yang direntang oleh S = w, v₁, dan v₂
Misalkan
w = m₁u₁ + m₂u₂ ; m₁ dan m₂ skalar
v₁ = a₁u₁ + a₂u₂ ; a₁ dan a₂ skalar
v₂ = b₁u₁ + b₂u₂ ; b₁ dan b₂ skalar

2) Perhatikan basis S' = {v₁,v₂}
Vektor di R² yang direntang oleh S' = w, u₁, dan u₂
Misalkan
w = n₁v₁ + n₂v₂ ; n₁ dan n₂ skalar
u₁ = c₁v₁ + c₂v₂ ; c₁ dan c₂ skalar
u₂ = d₁v₁ + d₂v₂ ; d₁ dan d₂ skalar

a) Uraikan w = m₁u₁ + m₂u₂ , $[w]_s=\begin{bmatrix}m_1\\m_2\end{bmatrix}$
w = m₁(c₁v₁ + c₂v₂) + m₂(d₁v₁ + d₂v₂)
w = (m₁c₁v₁ + m₁c₂v₂) + (m₂d₁v₁ + m₂d₂v₂)
w = (m₁c₁ + m₂d₁)v₁ + ( m₁c₂+ m₂d₂)v₂

Sehingga : $[w]_{s'}=\begin{bmatrix}m_1c_1+m_2d_1\\ m_1c_2+m_2d_2\end{bmatrix}$
$[w]_{s'}=\begin{bmatrix}c_1 &d_1 \\ c_2 &d_2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}m_1\\ m_2\end{bmatrix}$
                         $[w]_s$
$[u_1]_{s'} [u_2]_{s'}$
$\therefore[w]_{s'}= \left [[u_1]_{s'} \vdots [u_2]_{s'}  \right ][w]_s$
$P=\left [[u_1]_{s'} \vdots [u_2]_{s'}  \right ]$

Disebut Matriks transisi dari S ke S'

b) Uraikan w = n₁u₁ + n₂u₂ , $[w]_{s'}=\begin{bmatrix}n_1\\n_2\end{bmatrix}$
w = n₁(a₁u₁ + a₂u₂) + n₂(b₁u₁ + b₂u₂)
w = (n₁a₁u₁ + n₁a₂u₂) + (n₂b₁u₁ + n₂b₂u₂)
w = (n₁a₁ + n₂b₁)u₁ + ( n₁a₂+ n₂b₂)u₂

Sehingga : $[w]_{s}=\begin{bmatrix}n_1a_1+n_2b_1\\ n_1a_2+n_2b_2\end{bmatrix}$
$[w]_{s}=\begin{bmatrix}a_1 &b_1 \\ a_2 &b_2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}n_1\\ n_2\end{bmatrix}$
                     $[w]_{s'}$
$[v_1]_{s} [v_2]_{s}$
$\therefore[w]_{s}= \left [[v_1]_{s} \vdots [v_2]_{s}  \right ][w]_{s'}$
$P=\left [[v_1]_{s} \vdots [v_2]_{s}  \right ]$

Kembali Ke SOAL
$[w]_{s}=\begin{bmatrix}\frac{11}{7}\\\frac{1}{7}\end{bmatrix} [w]_s=\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}$

• Tentukan P jika $[w]_s=P\times[w]_{s'} $
• Buktikan $P\times[w]_{s'}=[w]_s$
• Tentukan P jika $[w]_{s'}=P\times[w]_{s} $
• Buktikan $P\times[w]_{s}=[w]_{s'}$

# $P = \left [[v_1]_{s} \vdots [v_2]_{s}  \right ]$

$v_1=a_1u_1+a_2u_2$
$v_1=a_1(1,2)+a_2(3,-1)$
$v_1=(a_1+3a_1,2a_2-u_2)$
$(1,-1)=(a_1+3a_2,2a_1-a_2)$

SPL
$\left\{\begin{matrix} a_1+3a_2=1\\ 2a_1+k_2=-1 \end{matrix}\right.$

dengan aturan Crammer
$a_1=\frac{\begin{vmatrix}1 &3 \\ -1 &-1 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1 & 3\\ 2 & -1 \end{vmatrix}}=\frac{2}{-7}$
$a_2=\frac{\begin{vmatrix}1 &1 \\ 2 &-1 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1 & 3\\ 2 & -1 \end{vmatrix}}=\frac{-3}{-7}=\frac{3}{7}$

$\therefore[v_1]_{s}=\begin{bmatrix}-\frac{2}{7}\\\frac{3}{7}\end{bmatrix}$

$v_2=b_1u_1+b_2u_2$
$v_2=b_1(1,2)+b_2(3,-1)$
$v_2=(b_1+3b_1,2b_2-b_2)$
$(2,3)=(b_1+3b_2,2b_1-b_2)$

SPL
$\left\{\begin{matrix} b_1+3b_2=2\\ 2b_1+b_2=-3 \end{matrix}\right.$

dengan aturan Crammer
$b_1=\frac{\begin{vmatrix}2 &3 \\ 3 &-1 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1 & 3\\ 2 & -1 \end{vmatrix}}=\frac{-11}{-7}=\frac{11}{7}$
$b_2=\frac{\begin{vmatrix}1 &2 \\ 2 &3 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1 & 3\\ 2 & -1 \end{vmatrix}}=\frac{-1}{-7}=\frac{1}{7}$

$\therefore[v_2]_{s}=\begin{bmatrix}-\frac{11}{7}\\\frac{1}{7}\end{bmatrix}$

$\therefore P=\left [ \begin{bmatrix}-\frac{2}{7}\\\frac{3}{7}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\frac{11}{7}\\\frac{1}{7}\end{bmatrix} \right ]$

Bukti:
$[w]_s=P\times[w]_{s'}$
$[w]_s=\begin{bmatrix}-\frac{2}{7} & \frac{11}{2} \\ \frac{3}{2}& \frac{1}{7}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0\\ 1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\frac{11}{7}\\\frac{1}{7}\end{bmatrix}$
TERBUKTI


# $P = \left [[u_1]_{s'} \vdots [u_2]_{s'}  \right ]$

$u_1=c_1v_1+c_2v_2$
$u_1=c_1(1,-1)+c_2(2,3)$
$u_1=(c_1-c_1,2c_2+3c_2)$
$(1,2)=(c_1+2c_2,-c_1+3c_2)$

SPL
$\left\{\begin{matrix} c_1+2c_2=1\\ -c_1+3c_2=2 \end{matrix}\right.$

dengan aturan Crammer
$c_1=\frac{\begin{vmatrix}1 &-1 \\ 2 &3 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1 & -1\\ 2& 3 \end{vmatrix}}=-\frac{1}{5}$
$c_2=\frac{\begin{vmatrix}1 &-1 \\ 1 &2 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1 & -1\\ 2 & 3 \end{vmatrix}}=\frac{3}{5}$

$\therefore[u_1]_{s'}=\begin{bmatrix}-\frac{1}{5}\\\frac{3}{5}\end{bmatrix}$

$u_2=d_1v_1+d_2v_2$
$u_2=d_1(1,-1)+d_2(2,3)$
$u_2=(d_1-d_1,2d_2+3d_2)$
$(3,-1)=(d_1+2d_2,-d_1+3d_2)$

SPL
$\left\{\begin{matrix} d_1+2d_2=3\\ -d_1+3d_2=-1 \end{matrix}\right.$

dengan aturan Crammer
$d_1=\frac{\begin{vmatrix}3 &-1 \\ 2 &3 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1 & -1\\ 2 & 3 \end{vmatrix}}=\frac{11}{5}$
$d_2=\frac{\begin{vmatrix}1 &-1 \\ 3 &-1 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1 & 3\\ 2 & -1 \end{vmatrix}}=\frac{2}{5}$

$\therefore[u_2]_{s'}=\begin{bmatrix}\frac{11}{5}\\\frac{2}{5}\end{bmatrix}$

Bukti:
$[w]_{s'}=P\times[w]_{s}$
$[w]_{s'}=\begin{bmatrix}-\frac{1}{5} & \frac{11}{5} \\ \frac{3}{5}& \frac{2}{5}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\frac{11}{7}\\ \frac{1}{7}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\ 1\end{bmatrix}$
TERBUKTI

Sumber : Buku catatan Aljabar Linear - Dosen : Deddy Sofyan M.Pd