 |
| Perubahan Basis (blogaritma.net) |
Misal S dan S' keduanya basis di R² dengan
S = {(1,2),(3,-1)} dan S' = {(1,-1),(2,3)}
Ambil sebuah vektor w = (2,3) ∈ R² , w direntang oleh S atau S', karena S atau S' merupakan basis di R²
1) Karena w direntang oleh S, maka w dapat dinyatakan sebagai:
w = k₁(1,2) + k₂(3,-1)
(2,3) = (k₁ + 3k₂ , 2k₁-k₂)
didapat SPL
\left\{\begin{matrix} k_1+3k_2=2\\ 2k_1-k_2=3 \end{matrix}\right.
Untuk menemukan k₁ dan k₂ menggunakan aturan Crammer
k_1=\frac{\begin{vmatrix}2 & 3 \\ 3 &-1 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1 & 3 \\ 2 &-1 \end{vmatrix}}=\frac{-11}{-7}=\frac{11}{7}
k_2=\frac{\begin{vmatrix}1 & 2 \\ 2 &3 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1 & 3 \\ 2 &-1 \end{vmatrix}}=\frac{-1}{-7}=\frac{1}{7}
\therefore w=\frac{11}{7}(1,2)+\frac{1}{7}(3,-1)
Ket:
notasi [w]_s dibaca matriks koordinat w terhadap s, dimana [w]_{s}=\begin{bmatrix}\frac{11}{7}\\ \frac{1}{7}\end{bmatrix}
2) karena w direntang oleh S', maka w dapat dinyatakan sebagai:
w = k₁(1,-1) + k₂(2,3)
(2,3) = (k₁ + 2k₂ , -k₁+3k₂)
didapat SPL
\left\{\begin{matrix} k_1+2k_2=2\\ -k_1+k_2=3 \end{matrix}\right.
Untuk menemukan k₁ dan k₂ menggunakan aturan Crammer
k_1=\frac{\begin{vmatrix}2 & 2 \\ 3 &3 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1 & 2 \\ -1 &3 \end{vmatrix}}=\frac{0}{5}=0
k_2=\frac{\begin{vmatrix}1 & 2 \\ -1 &3 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1 & 2 \\ -1 &3 \end{vmatrix}}=\frac{5}{5}=1
\therefore w=0(1,-1)+1(2,3)
w=(2,3)
Maka [w]_{s'}=\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}
BAGAIMANA HUBUNGAN [w]_{s} DENGAN [w]_{s'}?
Secara Umum
Perubahan basis di R²
Misal S dan S' basis di R²
dimana S = {u₁,u₂} dan S' = {v₁,v₂} , ∀ w ∈ R²
1) Perhatikan basis S = {u₁,u₂}
Vektor di R² yang direntang oleh S = w, v₁, dan v₂
Misalkan
w = m₁u₁ + m₂u₂ ; m₁ dan m₂ skalar
v₁ = a₁u₁ + a₂u₂ ; a₁ dan a₂ skalar
v₂ = b₁u₁ + b₂u₂ ; b₁ dan b₂ skalar
2) Perhatikan basis S' = {v₁,v₂}
Vektor di R² yang direntang oleh S' = w, u₁, dan u₂
Misalkan
w = n₁v₁ + n₂v₂ ; n₁ dan n₂ skalar
u₁ = c₁v₁ + c₂v₂ ; c₁ dan c₂ skalar
u₂ = d₁v₁ + d₂v₂ ; d₁ dan d₂ skalar
a) Uraikan w = m₁u₁ + m₂u₂ , [w]_s=\begin{bmatrix}m_1\\m_2\end{bmatrix}
w = m₁(c₁v₁ + c₂v₂) + m₂(d₁v₁ + d₂v₂)
w = (m₁c₁v₁ + m₁c₂v₂) + (m₂d₁v₁ + m₂d₂v₂)
w = (m₁c₁ + m₂d₁)v₁ + ( m₁c₂+ m₂d₂)v₂
Sehingga : [w]_{s'}=\begin{bmatrix}m_1c_1+m_2d_1\\ m_1c_2+m_2d_2\end{bmatrix}
[w]_{s'}=\begin{bmatrix}c_1 &d_1 \\ c_2 &d_2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}m_1\\ m_2\end{bmatrix}
[w]_s
[u_1]_{s'} [u_2]_{s'}
\therefore[w]_{s'}= \left [[u_1]_{s'} \vdots [u_2]_{s'} \right ][w]_s
P=\left [[u_1]_{s'} \vdots [u_2]_{s'} \right ]
Disebut Matriks transisi dari S ke S'
b) Uraikan w = n₁u₁ + n₂u₂ , [w]_{s'}=\begin{bmatrix}n_1\\n_2\end{bmatrix}
w = n₁(a₁u₁ + a₂u₂) + n₂(b₁u₁ + b₂u₂)
w = (n₁a₁u₁ + n₁a₂u₂) + (n₂b₁u₁ + n₂b₂u₂)
w = (n₁a₁ + n₂b₁)u₁ + ( n₁a₂+ n₂b₂)u₂
Sehingga : [w]_{s}=\begin{bmatrix}n_1a_1+n_2b_1\\ n_1a_2+n_2b_2\end{bmatrix}
[w]_{s}=\begin{bmatrix}a_1 &b_1 \\ a_2 &b_2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}n_1\\ n_2\end{bmatrix}
[w]_{s'}
[v_1]_{s} [v_2]_{s}
\therefore[w]_{s}= \left [[v_1]_{s} \vdots [v_2]_{s} \right ][w]_{s'}
P=\left [[v_1]_{s} \vdots [v_2]_{s} \right ]
Kembali Ke SOAL
[w]_{s}=\begin{bmatrix}\frac{11}{7}\\\frac{1}{7}\end{bmatrix} [w]_s=\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}
- Tentukan P jika [w]_s=P\times[w]_{s'}
- Buktikan P\times[w]_{s'}=[w]_s
- Tentukan P jika [w]_{s'}=P\times[w]_{s}
- Buktikan P\times[w]_{s}=[w]_{s'}
# P = \left [[v_1]_{s} \vdots [v_2]_{s} \right ]
v_1=a_1u_1+a_2u_2
v_1=a_1(1,2)+a_2(3,-1)
v_1=(a_1+3a_1,2a_2-u_2)
(1,-1)=(a_1+3a_2,2a_1-a_2)
SPL
\left\{\begin{matrix} a_1+3a_2=1\\ 2a_1+k_2=-1 \end{matrix}\right.
dengan aturan Crammer
a_1=\frac{\begin{vmatrix}1 &3 \\ -1 &-1 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1 & 3\\ 2 & -1 \end{vmatrix}}=\frac{2}{-7}
a_2=\frac{\begin{vmatrix}1 &1 \\ 2 &-1 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1 & 3\\ 2 & -1 \end{vmatrix}}=\frac{-3}{-7}=\frac{3}{7}
\therefore[v_1]_{s}=\begin{bmatrix}-\frac{2}{7}\\\frac{3}{7}\end{bmatrix}
v_2=b_1u_1+b_2u_2
v_2=b_1(1,2)+b_2(3,-1)
v_2=(b_1+3b_1,2b_2-b_2)
(2,3)=(b_1+3b_2,2b_1-b_2)
SPL
\left\{\begin{matrix} b_1+3b_2=2\\ 2b_1+b_2=-3 \end{matrix}\right.
dengan aturan Crammer
b_1=\frac{\begin{vmatrix}2 &3 \\ 3 &-1 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1 & 3\\ 2 & -1 \end{vmatrix}}=\frac{-11}{-7}=\frac{11}{7}
b_2=\frac{\begin{vmatrix}1 &2 \\ 2 &3 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1 & 3\\ 2 & -1 \end{vmatrix}}=\frac{-1}{-7}=\frac{1}{7}
\therefore[v_2]_{s}=\begin{bmatrix}-\frac{11}{7}\\\frac{1}{7}\end{bmatrix}
\therefore P=\left [ \begin{bmatrix}-\frac{2}{7}\\\frac{3}{7}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\frac{11}{7}\\\frac{1}{7}\end{bmatrix} \right ]
Bukti:
[w]_s=P\times[w]_{s'}
[w]_s=\begin{bmatrix}-\frac{2}{7} & \frac{11}{2} \\ \frac{3}{2}& \frac{1}{7}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0\\ 1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\frac{11}{7}\\\frac{1}{7}\end{bmatrix}
TERBUKTI
# P = \left [[u_1]_{s'} \vdots [u_2]_{s'} \right ]
u_1=c_1v_1+c_2v_2
u_1=c_1(1,-1)+c_2(2,3)
u_1=(c_1-c_1,2c_2+3c_2)
(1,2)=(c_1+2c_2,-c_1+3c_2)
SPL
\left\{\begin{matrix} c_1+2c_2=1\\ -c_1+3c_2=2 \end{matrix}\right.
dengan aturan Crammer
c_1=\frac{\begin{vmatrix}1 &-1 \\ 2 &3 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1 & -1\\ 2& 3 \end{vmatrix}}=-\frac{1}{5}
c_2=\frac{\begin{vmatrix}1 &-1 \\ 1 &2 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1 & -1\\ 2 & 3 \end{vmatrix}}=\frac{3}{5}
\therefore[u_1]_{s'}=\begin{bmatrix}-\frac{1}{5}\\\frac{3}{5}\end{bmatrix}
u_2=d_1v_1+d_2v_2
u_2=d_1(1,-1)+d_2(2,3)
u_2=(d_1-d_1,2d_2+3d_2)
(3,-1)=(d_1+2d_2,-d_1+3d_2)
SPL
\left\{\begin{matrix} d_1+2d_2=3\\ -d_1+3d_2=-1 \end{matrix}\right.
dengan aturan Crammer
d_1=\frac{\begin{vmatrix}3 &-1 \\ 2 &3 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1 & -1\\ 2 & 3 \end{vmatrix}}=\frac{11}{5}
d_2=\frac{\begin{vmatrix}1 &-1 \\ 3 &-1 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1 & 3\\ 2 & -1 \end{vmatrix}}=\frac{2}{5}
\therefore[u_2]_{s'}=\begin{bmatrix}\frac{11}{5}\\\frac{2}{5}\end{bmatrix}
Bukti:
[w]_{s'}=P\times[w]_{s}
[w]_{s'}=\begin{bmatrix}-\frac{1}{5} & \frac{11}{5} \\ \frac{3}{5}& \frac{2}{5}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\frac{11}{7}\\ \frac{1}{7}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\ 1\end{bmatrix}
TERBUKTI
Sumber : Buku catatan Aljabar Linear - Dosen : Deddy Sofyan M.Pd
👍🏻
ReplyDelete