Sifat Kelengkapan ℜ

Definisi 1:

$S\subseteq \Re. l,u\in \Re$

1. u disebut batas atas (upper bound) dari S jika $s\leq u,\forall s\in S$
2. l disebut batas bawah (lower bound) dari S jika $l\leq s,\forall s\in S$
Jadi u bukan batas atas dari S jika $\exists s_{o}\in S,u< s_{o}$

Contoh:
1. $S=\left \{ x\in \Re ,0< x\leq 1 \right \}$
# 1 adalah batas atas dari S karena $x\leq 1,\forall x\in S$
# 0 adalah batas bawah dari S karena $0\leq x,\forall x\in S$

2. $S_{1}=\left \{ x\in \Re ,0< x \right \}$
# 0 batas bawah $S_{1}$
# Sebarang bilangan real u bukan batas atas $S_{1}$ karena ada $s_{o}=u+1\in S_{1},u< s_{o}$

3. $S_{2}=\left \{ \frac{1}{n},n\in N \right \}$
# 1 batas atas dari $S_{2}$
# 0 batas bawah dari $S_{2}$

4. $S=\varnothing $
#Setiap bilangan real u merupakan batas atas dan batas bawah S

Definisi 2:

$S\subseteq \Re, S\neq \varnothing $

* Himpunan S dikatakan terbatas ke atas jika S mempunyai batas atas
* Himpunan S dikatakan terbatas ke bawah jika S mempunyai batas bawah
* Himpunan S dikatakan terbatas jika S terbatas ke atas dan terbatas ke bawah

Baca Juga : Sifat – Sifat Lapangan Aljabar Analisis Real

Definisi 3:


$S\subseteq \Re, S\neq \varnothing, l,u\in \Re$

u dikatakan batas atas terkecil (Supremum) = sup S  = bat S dari S jika
# $s\leq u, \forall s \in S$ atau u batas atas S
# Jika v sebarang batas atas, maka $u\leq v$
# Jika $v< u$, maka v bukan batas atas S
# Jika $v< u$, maka $\exists s_{o} \in S, v< s_{o}$

l dikatakan batas atas terbesar (Infrimum) = inf S  = bbt S dari S jika
# $l\leq s, \forall s \in S$ atau l batas bawah S
# Jika w sebarang batas bawah, maka $w\leq l$
# Jika $w> l$, maka w bukan batas bawah S
# Jika $w> l$, maka $\exists s_{o} \in S, s_{o}<w$
Contoh :
Lanjut

Baca Juga : Pembuktian Sifat-Sifat Urutan pada R